Страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

509. Упростите выражение:

a) $15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160};$

б) $\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6};$

в) $6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27};$

г) $0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}.$

а) $15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести оба члена к виду $k\sqrt{n}$, где $n$ — одинаковое число для обоих членов. Для этого преобразуем каждый член по отдельности.

1. Упростим первый член $15\sqrt{\frac{2}{5}}$. Внесем множитель 15 под знак корня. Для этого возведем его в квадрат:

$15\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{15^2 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{225 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{5}} = \sqrt{45 \cdot 2} = \sqrt{90}$.

Теперь вынесем из-под корня множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{160}$. Найдем множитель, являющийся полным квадратом, и вынесем его из-под знака корня:

$\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.

3. Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160} = 3\sqrt{10} - 4\sqrt{10} = (3 - 4)\sqrt{10} = -\sqrt{10}$.

Ответ: $-\sqrt{10}$.

б) $\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6}$

Приведем оба слагаемых к общему подкоренному выражению.

1. Упростим первый член $\sqrt{135}$. Разложим число 135 на множители, один из которых является полным квадратом:

$\sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{15} = 3\sqrt{15}$.

2. Упростим второй член $10\sqrt{0,6}$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби $0,6 = \frac{6}{10}$ и внесем множитель 10 под знак корня:

$10\sqrt{0,6} = 10\sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{10^2 \cdot \frac{6}{10}} = \sqrt{100 \cdot \frac{6}{10}} = \sqrt{10 \cdot 6} = \sqrt{60}$.

Теперь вынесем из-под корня множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.

3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение и выполним сложение:

$\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6} = 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = (3+2)\sqrt{15} = 5\sqrt{15}$.

Ответ: $5\sqrt{15}$.

в) $6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$

Преобразуем оба члена выражения, чтобы выполнить вычитание.

1. Упростим первый член $6\sqrt{1\frac{1}{3}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь внесем множитель 6 под знак корня:

$6\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{6^2 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{36 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{12 \cdot 4} = \sqrt{48}$.

Вынесем из-под корня множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{27}$. Разложим 27 на множители:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

3. Подставим упрощенные значения и выполним вычитание:

$6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}$

Упростим оба слагаемых для нахождения суммы.

1. Упростим первое слагаемое $0,5\sqrt{24}$. Сначала упростим корень $\sqrt{24}$:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Теперь умножим на коэффициент 0,5:

$0,5 \cdot 2\sqrt{6} = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.

2. Упростим второе слагаемое $10\sqrt{\frac{3}{8}}$. Чтобы упростить корень из дроби, можно домножить числитель и знаменатель подкоренной дроби на 2, чтобы знаменатель стал полным квадратом:

$\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{6}{16}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Теперь умножим на коэффициент 10:

$10 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{10\sqrt{6}}{4} = \frac{5\sqrt{6}}{2} = 2,5\sqrt{6}$.

3. Теперь сложим полученные значения:

$0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{6} + 2,5\sqrt{6} = (1 + 2,5)\sqrt{6} = 3,5\sqrt{6}$.

Результат можно также представить в виде обыкновенной дроби: $3,5\sqrt{6} = \frac{7}{2}\sqrt{6}$.

Ответ: $3,5\sqrt{6}$.

511. Докажите, что значение выражения

$\sqrt{b + 49 - 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}}$

при $0 \leq b \leq 49$ не зависит от $b$.

Для доказательства того, что значение данного выражения не зависит от $b$, мы его упростим.

Рассмотрим выражения под знаками корня.

Первое подкоренное выражение: $b + 49 - 14\sqrt{b}$. Его можно представить в виде полного квадрата. Заметим, что $b = (\sqrt{b})^2$, $49 = 7^2$, и $14\sqrt{b} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b}$. Таким образом, мы можем применить формулу квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.
$b - 14\sqrt{b} + 49 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 7 + 7^2 = (\sqrt{b} - 7)^2$.

Второе подкоренное выражение: $b + 49 + 14\sqrt{b}$. Аналогично, это выражение является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.
$b + 14\sqrt{b} + 49 = (\sqrt{b})^2 + 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 7 + 7^2 = (\sqrt{b} + 7)^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$\sqrt{(\sqrt{b} - 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$|\sqrt{b} - 7| + |\sqrt{b} + 7|$

Далее воспользуемся условием, данным в задаче: $0 \le b \le 49$.
Извлечем квадратный корень из каждой части этого двойного неравенства:
$\sqrt{0} \le \sqrt{b} \le \sqrt{49}$
$0 \le \sqrt{b} \le 7$

Теперь раскроем модули, учитывая это условие.
1. Для первого модуля $|\sqrt{b} - 7|$: поскольку $\sqrt{b} \le 7$, разность $\sqrt{b} - 7$ является неположительной (то есть $\le 0$). Следовательно, при раскрытии модуля знак выражения меняется на противоположный:
$|\sqrt{b} - 7| = -(\sqrt{b} - 7) = 7 - \sqrt{b}$.
2. Для второго модуля $|\sqrt{b} + 7|$: поскольку $\sqrt{b} \ge 0$, сумма $\sqrt{b} + 7$ всегда будет положительной. Следовательно, модуль раскрывается без изменения знака:
$|\sqrt{b} + 7| = \sqrt{b} + 7$.

Подставим полученные выражения обратно:
$(7 - \sqrt{b}) + (\sqrt{b} + 7)$

Выполним сложение:
$7 - \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14$.

В результате упрощения мы получили число 14, которое не зависит от значения переменной $b$. Это доказывает утверждение задачи.

Ответ: Значение выражения равно 14 при всех $b$ из указанного промежутка, следовательно, оно не зависит от $b$.

508. При каком значении x дробь $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} $ принимает наибольшее значение?

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ данная дробь принимает наибольшее значение, рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 2) \cup (2, \infty)$.

Теперь упростим выражение дроби. Заметим, что знаменатель $x-2$ можно разложить на множители как разность квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $2$ как $(\sqrt{2})^2$: $x-2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})$.

Подставим это разложение в исходную дробь: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$.

Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$, то выражение $\sqrt{x}-\sqrt{2}$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Итак, нам нужно найти, при каком $x$ из ОДЗ функция $y(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ принимает наибольшее значение.

Значение дроби с положительным постоянным числителем (в нашем случае 1) будет наибольшим, когда ее знаменатель будет наименьшим. Рассмотрим знаменатель $g(x) = \sqrt{x}+\sqrt{2}$.

Функция $h(x) = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Так как $\sqrt{2}$ является постоянной величиной, то и функция $g(x) = \sqrt{x}+\sqrt{2}$ также является монотонно возрастающей на своей области определения.

Возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в начальной точке своей области определения. Для нашей задачи наименьшее значение $x$ из области допустимых значений $x \in [0, 2) \cup (2, \infty)$ — это $x=0$.

Таким образом, знаменатель $\sqrt{x}+\sqrt{2}$ принимает наименьшее значение при $x=0$. Следовательно, и вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ в этой точке достигает своего наибольшего значения.

Ответ: $x=0$.

510. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} + \frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y-1}{2};$

б) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(b-a)^2}{2}.$

а)
Исходное выражение: $ (\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x - x\sqrt{y}}) \cdot \frac{y-1}{2} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. В знаменателях каждой дроби вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ \frac{1}{x(1 + \sqrt{y})} + \frac{1}{x(1 - \sqrt{y})} $

Общий знаменатель будет $ x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y}) $. Используя формулу разности квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$, упростим его: $ x(1^2 - (\sqrt{y})^2) = x(1-y) $.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их: $ \frac{1 \cdot (1 - \sqrt{y}) + 1 \cdot (1 + \sqrt{y})}{x(1-y)} = \frac{1 - \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y}}{x(1-y)} = \frac{2}{x(1-y)} $

Далее умножим полученное выражение на вторую дробь: $ \frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{y-1}{2} $

Заметим, что $ y-1 = -(1-y) $. Подставим это в выражение и сократим общие множители $2$ и $(1-y)$: $ \frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{-(1-y)}{2} = \frac{\cancel{2}}{x\cancel{(1-y)}} \cdot \frac{-\cancel{(1-y)}}{\cancel{2}} = -\frac{1}{x} $
Ответ: $ -\frac{1}{x} $

б)
Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) \cdot \frac{(b-a)^2}{2} $

Начнем с упрощения выражения в скобках. Найдем общий знаменатель для дробей: $ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $. По формуле разности квадратов он равен $ (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание: $ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его: $ \frac{a + \sqrt{ab} - (a - \sqrt{ab})}{a-b} = \frac{a + \sqrt{ab} - a + \sqrt{ab}}{a-b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a-b} $

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения: $ \frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(b-a)^2}{2} $

Поскольку $ (b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2 $, мы можем переписать выражение следующим образом и сократить общие множители $2$ и $(a-b)$: $ \frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(a-b)^2}{2} = \frac{\cancel{2}\sqrt{ab}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}} = \sqrt{ab}(a-b) $
Ответ: $ (a-b)\sqrt{ab} $