Номер 509, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 509, страница 116.

509. Упростите выражение:

a) $15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160};$

б) $\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6};$

в) $6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27};$

г) $0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}.$

а) $15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести оба члена к виду $k\sqrt{n}$, где $n$ — одинаковое число для обоих членов. Для этого преобразуем каждый член по отдельности.

1. Упростим первый член $15\sqrt{\frac{2}{5}}$. Внесем множитель 15 под знак корня. Для этого возведем его в квадрат:

$15\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{15^2 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{225 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{5}} = \sqrt{45 \cdot 2} = \sqrt{90}$.

Теперь вынесем из-под корня множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{160}$. Найдем множитель, являющийся полным квадратом, и вынесем его из-под знака корня:

$\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.

3. Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160} = 3\sqrt{10} - 4\sqrt{10} = (3 - 4)\sqrt{10} = -\sqrt{10}$.

Ответ: $-\sqrt{10}$.

б) $\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6}$

Приведем оба слагаемых к общему подкоренному выражению.

1. Упростим первый член $\sqrt{135}$. Разложим число 135 на множители, один из которых является полным квадратом:

$\sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{15} = 3\sqrt{15}$.

2. Упростим второй член $10\sqrt{0,6}$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби $0,6 = \frac{6}{10}$ и внесем множитель 10 под знак корня:

$10\sqrt{0,6} = 10\sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{10^2 \cdot \frac{6}{10}} = \sqrt{100 \cdot \frac{6}{10}} = \sqrt{10 \cdot 6} = \sqrt{60}$.

Теперь вынесем из-под корня множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.

3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение и выполним сложение:

$\sqrt{135} + 10\sqrt{0,6} = 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = (3+2)\sqrt{15} = 5\sqrt{15}$.

Ответ: $5\sqrt{15}$.

в) $6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$

Преобразуем оба члена выражения, чтобы выполнить вычитание.

1. Упростим первый член $6\sqrt{1\frac{1}{3}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь внесем множитель 6 под знак корня:

$6\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{6^2 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{36 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{12 \cdot 4} = \sqrt{48}$.

Вынесем из-под корня множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{27}$. Разложим 27 на множители:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

3. Подставим упрощенные значения и выполним вычитание:

$6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}$

Упростим оба слагаемых для нахождения суммы.

1. Упростим первое слагаемое $0,5\sqrt{24}$. Сначала упростим корень $\sqrt{24}$:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Теперь умножим на коэффициент 0,5:

$0,5 \cdot 2\sqrt{6} = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.

2. Упростим второе слагаемое $10\sqrt{\frac{3}{8}}$. Чтобы упростить корень из дроби, можно домножить числитель и знаменатель подкоренной дроби на 2, чтобы знаменатель стал полным квадратом:

$\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{6}{16}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Теперь умножим на коэффициент 10:

$10 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{10\sqrt{6}}{4} = \frac{5\sqrt{6}}{2} = 2,5\sqrt{6}$.

3. Теперь сложим полученные значения:

$0,5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{6} + 2,5\sqrt{6} = (1 + 2,5)\sqrt{6} = 3,5\sqrt{6}$.

Результат можно также представить в виде обыкновенной дроби: $3,5\sqrt{6} = \frac{7}{2}\sqrt{6}$.

Ответ: $3,5\sqrt{6}$.