Номер 503, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 503, страница 115.

503. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}};$

б) $\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}};$

в) $\frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}};$

г) $\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}};$

д) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}};$

е) $\frac{(\sqrt{10}-1)^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1}.$

а) $\frac{\sqrt{70} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}}$
Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся общий множитель за скобки.
В числителе: $\sqrt{70} - \sqrt{30} = \sqrt{10 \cdot 7} - \sqrt{10 \cdot 3} = \sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
В знаменателе: $\sqrt{35} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{10}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{3})$:
$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

б) $\frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $\sqrt{15} - 5 = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
В знаменателе: $\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{3} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) $\frac{2\sqrt{10} - 5}{4 - \sqrt{10}}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $2\sqrt{10} - 5 = \sqrt{4}\sqrt{10} - \sqrt{25} = \sqrt{40} - \sqrt{25} = \sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = \sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
В знаменателе: $4 - \sqrt{10} = \sqrt{16} - \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 8} - \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = \sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{5}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(2\sqrt{2} - \sqrt{5})}$.
Сокращаем общий множитель $(2\sqrt{2} - \sqrt{5})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

г) $\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $9 - 2\sqrt{3} = 3 \cdot 3 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 3 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)$.
В знаменателе: $3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)}$.
Сокращаем общий множитель $(3\sqrt{3} - 2)$:
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

д) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$
Попытаемся вынести в числителе множитель, равный знаменателю. Для этого заметим, что $3\sqrt{2} = \sqrt{18} = \sqrt{3 \cdot 6}$ и $\sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2}$.
Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки в числителе:
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Получаем дробь: $\frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Сокращаем общий множитель $(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})$:
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

е) $\frac{(\sqrt{10} - 1)^2 - 3}{\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1}$
Преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
Числитель: $(\sqrt{10} - 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{10} - 1) - \sqrt{3})((\sqrt{10} - 1) + \sqrt{3}) = (\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3})(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})$.
Перегруппируем слагаемые в знаменателе для удобства: $\sqrt{10} + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{10} - 1 + \sqrt{3}$.
Получаем дробь: $\frac{(\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3})(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})}{\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3}}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{10} - 1 + \sqrt{3})$:
$\sqrt{10} - 1 - \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{3} - 1$.