Номер 497, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 497, страница 114.

497. Найдите значение выражения:

а) $x^2 - 6$ при $x = 1+\sqrt{5}$;

б) $x^2 - 6x$ при $x = 3-\sqrt{3}$;

в) $x^2 - 4x + 3$ при $x = 2+\sqrt{3}$;

г) $x^2 - 3x + 5$ при $x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$.

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6$ при $x = 1 + \sqrt{5}$, подставим значение $x$ в выражение:
$(1 + \sqrt{5})^2 - 6$
Для раскрытия скобок используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$, можно упростить исходное выражение, выделив полный квадрат. Это позволит избежать громоздких вычислений.
$x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$
Теперь подставим значение $x = 3 - \sqrt{3}$ в преобразованное выражение:
$((3 - \sqrt{3}) - 3)^2 - 9 = (-\sqrt{3})^2 - 9 = 3 - 9 = -6$.
Ответ: $-6$.

в) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4x + 3$ при $x = 2 + \sqrt{3}$, также воспользуемся методом выделения полного квадрата.
$x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x - 2)^2 - 1$
Подставим значение $x = 2 + \sqrt{3}$ в полученное выражение:
$((2 + \sqrt{3}) - 2)^2 - 1 = (\sqrt{3})^2 - 1 = 3 - 1 = 2$.
Ответ: $2$.

г) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 3x + 5$ при $x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$, преобразуем сначала равенство для $x$.
$x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$
Умножим обе части на 2: $2x = 3+\sqrt{2}$
Перенесем 3 в левую часть: $2x - 3 = \sqrt{2}$
Возведем обе части в квадрат: $(2x - 3)^2 = (\sqrt{2})^2$
$4x^2 - 12x + 9 = 2$
Перенесем 2 влево: $4x^2 - 12x + 7 = 0$
Разделим все уравнение на 4: $x^2 - 3x + \frac{7}{4} = 0$
Отсюда мы можем выразить часть искомого выражения: $x^2 - 3x = -\frac{7}{4}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$x^2 - 3x + 5 = (-\frac{7}{4}) + 5 = 5 - \frac{7}{4} = \frac{20}{4} - \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$.
Ответ: $\frac{13}{4}$.