Номер 496, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 496, страница 114.

496. Докажите, что:

а) $\sqrt{6+4\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{3}+4.$

а) Для доказательства равенства $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$ возведем в квадрат его правую часть. Поскольку обе части равенства являются положительными числами, то равенство будет верным, если квадраты обеих частей равны.
Вычислим квадрат правой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$.
Полученное выражение $6 + 4\sqrt{2}$ равно подкоренному выражению в левой части. Таким образом, исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4$ также возведем в квадрат его правую часть. Обе части равенства положительны, поэтому достаточно доказать равенство их квадратов.
Вычислим квадрат правой части:
$(\sqrt{3} + 4)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 = 3 + 8\sqrt{3} + 16 = 19 + 8\sqrt{3}$.
Результат $19 + 8\sqrt{3}$ равен подкоренному выражению в левой части $8\sqrt{3} + 19$ (от перемены мест слагаемых сумма не меняется). Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.