Номер 489, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 489, страница 113.

489. Упростите выражение:

а) $\sqrt{(-a)^2}$;

б) $\sqrt{(-a)^2(-b)^4}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \sqrt{(-a)^2} $, воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня.

Сначала рассмотрим подкоренное выражение. Квадрат любого числа (или выражения) является неотрицательной величиной. В частности, $ (-a)^2 = a^2 $.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $ \sqrt{a^2} $.

По определению, арифметический квадратный корень из квадрата переменной равен модулю этой переменной: $ \sqrt{x^2} = |x| $. Это правило гарантирует, что результат извлечения корня всегда будет неотрицательным.

Применяя это правило к нашему выражению, получаем:

$ \sqrt{a^2} = |a| $.

Модуль $ a $ раскрывается как $ a $, если $ a \ge 0 $, и как $ -a $, если $ a < 0 $.

Ответ: $ |a| $

б)

Чтобы упростить выражение $ \sqrt{(-a)^2(-b)^4} $, применим свойства степеней и корней.

Поскольку оба множителя под корнем, $ (-a)^2 $ и $ (-b)^4 $, являются неотрицательными, мы можем использовать свойство корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $:

$ \sqrt{(-a)^2(-b)^4} = \sqrt{(-a)^2} \cdot \sqrt{(-b)^4} $.

Рассмотрим каждый множитель по отдельности.

1. Первый множитель, как было показано в пункте а), равен модулю $ a $:

$ \sqrt{(-a)^2} = |a| $.

2. Второй множитель $ \sqrt{(-b)^4} $. Упростим выражение под корнем. Четвертая степень числа $ -b $ равна четвертой степени числа $ b $:

$ (-b)^4 = b^4 $.

Таким образом, нам нужно вычислить $ \sqrt{b^4} $. Представим $ b^4 $ как $ (b^2)^2 $:

$ \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} $.

Используя правило $ \sqrt{x^2} = |x| $, где в нашем случае $ x = b^2 $, получаем:

$ \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| $.

Выражение $ b^2 $ всегда неотрицательно для любого действительного числа $ b $. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, следовательно:

$ |b^2| = b^2 $.

Теперь перемножим результаты упрощения обоих множителей:

$ |a| \cdot b^2 $.

Ответ: $ |a|b^2 $