Номер 487, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 487, страница 113.

487. Преобразуйте выражение:

а) $\sqrt{a^4b^4}$;

б) $\sqrt{b^6c^8}$, где $b \ge 0$;

в) $\sqrt{16x^4y^{12}};$

г) $\sqrt{0,25p^2y^6}$, где $p \ge 0$, $y \le 0$;

д) $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}};$

е) $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$;

ж) $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0$, $y < 0$;

з) $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}$, где $c < 0$, $a > 0$.

а) Для преобразования выражения $\sqrt{a^4b^4}$ воспользуемся свойством корня из произведения и основным свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^4b^4 = (a^2)^2(b^2)^2 = (a^2b^2)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $|a^2b^2|$.
Так как любое число в квадрате неотрицательно, $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, то их произведение $a^2b^2 \ge 0$. Следовательно, модуль этого выражения равен самому выражению: $|a^2b^2| = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$.

б) Преобразуем выражение $\sqrt{b^6c^8}$, где $b \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{c^8}$.
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. По условию $b \ge 0$, значит $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
$\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4|$. Так как степень 4 четная, $c^4 \ge 0$ для любого $c$. Поэтому $|c^4| = c^4$.
Перемножим полученные результаты: $b^3 \cdot c^4 = b^3c^4$.
Ответ: $b^3c^4$.

в) Преобразуем выражение $\sqrt{16x^4y^{12}}$.
Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^{12}}$.
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt{16} = 4$.
$\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2 \ge 0$, то $|x^2| = x^2$.
$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Так как $y^6 \ge 0$, то $|y^6| = y^6$.
Собираем все вместе: $4 \cdot x^2 \cdot y^6 = 4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$.

г) Преобразуем выражение $\sqrt{0,25p^2y^6}$, где $p \ge 0, y \le 0$.
Разложим на множители: $\sqrt{0,25p^2y^6} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{y^6}$.
Упростим каждый множитель с учетом заданных условий:
$\sqrt{0,25} = 0,5$.
$\sqrt{p^2} = |p|$. По условию $p \ge 0$, следовательно, $|p| = p$.
$\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y \le 0$. Если $y < 0$, то $y^3 < 0$. Если $y = 0$, то $y^3 = 0$. Значит, $y^3 \le 0$, и поэтому $|y^3| = -y^3$.
Перемножим результаты: $0,5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0,5py^3$.
Ответ: $-0,5py^3$.

д) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{\sqrt{p^4}}{\sqrt{a^8}}$ (при $a \neq 0$).
Упростим числитель и знаменатель:
$\sqrt{p^4} = \sqrt{(p^2)^2} = |p^2| = p^2$.
$\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4$.
Результат: $\frac{p^2}{a^4}$.
Ответ: $\frac{p^2}{a^4}$.

е) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{16a^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{12}} = 4 \cdot \sqrt{(a^6)^2} = 4|a^6| = 4a^6$ (поскольку $a^6 \ge 0$).
Упростим знаменатель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит $b^5 > 0$, и $|b^5| = b^5$.
Запишем итоговую дробь: $\frac{4a^6}{b^5}$.
Ответ: $\frac{4a^6}{b^5}$.

ж) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0, y < 0$.
Применим свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2|x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Числитель равен $2(-x) = -2x$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y < 0$, поэтому $y^3 < 0$, и $|y^3| = -y^3$.
Получаем дробь: $\frac{-2x}{-y^3} = \frac{2x}{y^3}$.
Ответ: $\frac{2x}{y^3}$.

з) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}$, где $c < 0, a > 0$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9a^2}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$. По условию $c < 0$, значит $c^3 < 0$, и $|c^3| = -c^3$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{9a^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} = 3|a|$. По условию $a > 0$, значит $|a| = a$. Знаменатель равен $3a$.
Запишем итоговую дробь: $\frac{-c^3}{3a}$.
Ответ: $-\frac{c^3}{3a}$.