Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

487. Преобразуйте выражение:

а) $\sqrt{a^4b^4}$;

б) $\sqrt{b^6c^8}$, где $b \ge 0$;

в) $\sqrt{16x^4y^{12}};$

г) $\sqrt{0,25p^2y^6}$, где $p \ge 0$, $y \le 0$;

д) $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}};$

е) $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$;

ж) $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0$, $y < 0$;

з) $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}$, где $c < 0$, $a > 0$.

а) Для преобразования выражения $\sqrt{a^4b^4}$ воспользуемся свойством корня из произведения и основным свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^4b^4 = (a^2)^2(b^2)^2 = (a^2b^2)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $|a^2b^2|$.
Так как любое число в квадрате неотрицательно, $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, то их произведение $a^2b^2 \ge 0$. Следовательно, модуль этого выражения равен самому выражению: $|a^2b^2| = a^2b^2$.
Ответ: $a^2b^2$.

б) Преобразуем выражение $\sqrt{b^6c^8}$, где $b \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{c^8}$.
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. По условию $b \ge 0$, значит $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
$\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4|$. Так как степень 4 четная, $c^4 \ge 0$ для любого $c$. Поэтому $|c^4| = c^4$.
Перемножим полученные результаты: $b^3 \cdot c^4 = b^3c^4$.
Ответ: $b^3c^4$.

в) Преобразуем выражение $\sqrt{16x^4y^{12}}$.
Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^{12}}$.
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt{16} = 4$.
$\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2 \ge 0$, то $|x^2| = x^2$.
$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Так как $y^6 \ge 0$, то $|y^6| = y^6$.
Собираем все вместе: $4 \cdot x^2 \cdot y^6 = 4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$.

г) Преобразуем выражение $\sqrt{0,25p^2y^6}$, где $p \ge 0, y \le 0$.
Разложим на множители: $\sqrt{0,25p^2y^6} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{y^6}$.
Упростим каждый множитель с учетом заданных условий:
$\sqrt{0,25} = 0,5$.
$\sqrt{p^2} = |p|$. По условию $p \ge 0$, следовательно, $|p| = p$.
$\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y \le 0$. Если $y < 0$, то $y^3 < 0$. Если $y = 0$, то $y^3 = 0$. Значит, $y^3 \le 0$, и поэтому $|y^3| = -y^3$.
Перемножим результаты: $0,5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0,5py^3$.
Ответ: $-0,5py^3$.

д) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{\sqrt{p^4}}{\sqrt{a^8}}$ (при $a \neq 0$).
Упростим числитель и знаменатель:
$\sqrt{p^4} = \sqrt{(p^2)^2} = |p^2| = p^2$.
$\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4$.
Результат: $\frac{p^2}{a^4}$.
Ответ: $\frac{p^2}{a^4}$.

е) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}$, где $b > 0$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{16a^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{12}} = 4 \cdot \sqrt{(a^6)^2} = 4|a^6| = 4a^6$ (поскольку $a^6 \ge 0$).
Упростим знаменатель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. По условию $b > 0$, значит $b^5 > 0$, и $|b^5| = b^5$.
Запишем итоговую дробь: $\frac{4a^6}{b^5}$.
Ответ: $\frac{4a^6}{b^5}$.

ж) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}$, где $x < 0, y < 0$.
Применим свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2|x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Числитель равен $2(-x) = -2x$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$. По условию $y < 0$, поэтому $y^3 < 0$, и $|y^3| = -y^3$.
Получаем дробь: $\frac{-2x}{-y^3} = \frac{2x}{y^3}$.
Ответ: $\frac{2x}{y^3}$.

з) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}$, где $c < 0, a > 0$.
Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9a^2}}$.
Упростим числитель: $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$. По условию $c < 0$, значит $c^3 < 0$, и $|c^3| = -c^3$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{9a^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} = 3|a|$. По условию $a > 0$, значит $|a| = a$. Знаменатель равен $3a$.
Запишем итоговую дробь: $\frac{-c^3}{3a}$.
Ответ: $-\frac{c^3}{3a}$.

489. Упростите выражение:

а) $\sqrt{(-a)^2}$;

б) $\sqrt{(-a)^2(-b)^4}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \sqrt{(-a)^2} $, воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня.

Сначала рассмотрим подкоренное выражение. Квадрат любого числа (или выражения) является неотрицательной величиной. В частности, $ (-a)^2 = a^2 $.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $ \sqrt{a^2} $.

По определению, арифметический квадратный корень из квадрата переменной равен модулю этой переменной: $ \sqrt{x^2} = |x| $. Это правило гарантирует, что результат извлечения корня всегда будет неотрицательным.

Применяя это правило к нашему выражению, получаем:

$ \sqrt{a^2} = |a| $.

Модуль $ a $ раскрывается как $ a $, если $ a \ge 0 $, и как $ -a $, если $ a < 0 $.

Ответ: $ |a| $

б)

Чтобы упростить выражение $ \sqrt{(-a)^2(-b)^4} $, применим свойства степеней и корней.

Поскольку оба множителя под корнем, $ (-a)^2 $ и $ (-b)^4 $, являются неотрицательными, мы можем использовать свойство корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $:

$ \sqrt{(-a)^2(-b)^4} = \sqrt{(-a)^2} \cdot \sqrt{(-b)^4} $.

Рассмотрим каждый множитель по отдельности.

1. Первый множитель, как было показано в пункте а), равен модулю $ a $:

$ \sqrt{(-a)^2} = |a| $.

2. Второй множитель $ \sqrt{(-b)^4} $. Упростим выражение под корнем. Четвертая степень числа $ -b $ равна четвертой степени числа $ b $:

$ (-b)^4 = b^4 $.

Таким образом, нам нужно вычислить $ \sqrt{b^4} $. Представим $ b^4 $ как $ (b^2)^2 $:

$ \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} $.

Используя правило $ \sqrt{x^2} = |x| $, где в нашем случае $ x = b^2 $, получаем:

$ \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| $.

Выражение $ b^2 $ всегда неотрицательно для любого действительного числа $ b $. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, следовательно:

$ |b^2| = b^2 $.

Теперь перемножим результаты упрощения обоих множителей:

$ |a| \cdot b^2 $.

Ответ: $ |a|b^2 $

486. Постройте график функции $y = \sqrt{|x|}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x|}$ проанализируем её свойства и построим по частям.

Сначала определим область определения. Выражение под знаком корня, $|x|$, должно быть неотрицательным. Так как модуль любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($|x| \geq 0$), область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Далее проверим функцию на чётность. Найдём значение функции для $-x$: $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Благодаря свойству симметрии, мы можем построить график для $x \geq 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси OY, чтобы получить вторую половину графика.

При $x \geq 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня. Построим его по ключевым точкам:
- если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$; точка (0, 0).
- если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$; точка (1, 1).
- если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$; точка (4, 2).
Эта часть графика представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первом координатном квадранте.

При $x < 0$, график является симметричным отражением построенной части относительно оси OY. Таким образом, для каждого значения $y$ у нас будет два противоположных значения $x$. Ключевые точки для этой части графика:
- точка (-1, 1).
- точка (-4, 2).
Эта часть графика расположена во втором координатном квадранте. Она также соответствует функции $y=\sqrt{-x}$ для $x < 0$.

Объединив обе части, мы получаем итоговый график функции $y = \sqrt{|x|}$, который состоит из двух симметричных ветвей, выходящих из начала координат.

Ответ: График функции $y=\sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Одна ветвь, совпадающая с графиком $y=\sqrt{x}$, расположена в первой координатной четверти ($x \geq 0$). Вторая ветвь, являющаяся зеркальным отражением первой, расположена во второй координатной четверти ($x < 0$). Обе ветви выходят из начала координат, точки (0, 0).

488. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ является натуральным числом?

1) Выберите произвольное значение $n$ и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении $n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$, чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

Выберем произвольное натуральное число $n$, например, $n=1$. Подставим это значение в выражение:

$\sqrt{1(1+1)(1+2)(1+3)+1} = \sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1} = \sqrt{24+1} = \sqrt{25} = 5$

Число 5 является натуральным.

Проверим для другого значения, например, $n=3$:

$\sqrt{3(3+1)(3+2)(3+3)+1} = \sqrt{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 + 1} = \sqrt{360+1} = \sqrt{361} = 19$

Число 19 также является натуральным. На основе этих примеров можно предположить, что утверждение верно.

Ответ: при $n=1$ значение выражения равно 5, что является натуральным числом; при $n=3$ значение равно 19, что является натуральным числом.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

Рассмотрим произведение $n(n+1)(n+2)(n+3)$. Чтобы после раскрытия скобок получить выражение, которое легко сворачивается в полный квадрат, нужно сгруппировать множители так, чтобы в полученных произведениях были одинаковые части.

Сгруппируем первый множитель с последним, а два средних — между собой:

$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)]$

Раскроем скобки в каждой группе:

$n(n+3) = n^2+3n$

$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$

Видно, что оба выражения содержат одинаковую часть $n^2+3n$. Это позволит сделать замену переменной, что упростит дальнейшие преобразования и поможет выделить полный квадрат.

Ответ: множители удобно сгруппировать следующим образом: $(n \cdot (n+3)) \cdot ((n+1) \cdot (n+2))$.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

Преобразуем подкоренное выражение, используя предложенную группировку:

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = [n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$

Чтобы упростить выражение, введем замену. Пусть $t = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид:

$t(t+2)+1 = t^2+2t+1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$t^2+2t+1 = (t+1)^2$

Теперь вернемся к исходной переменной $n$, подставив $t = n^2+3n$:

$(n^2+3n+1)^2$

Таким образом, все исходное выражение под корнем равно квадрату выражения $n^2+3n+1$. Теперь извлечем корень:

$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} = \sqrt{(n^2+3n+1)^2} = |n^2+3n+1|$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $n^2 \ge 1$ и $3n \ge 3$. Тогда $n^2+3n+1 \ge 1+3+1 = 5$. Значение выражения $n^2+3n+1$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить:

$|n^2+3n+1| = n^2+3n+1$

Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ — натуральное число, $3n$ — натуральное число, и 1 — натуральное число. Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом. Следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения $n^2+3n+1$ является натуральным числом.

Ответ: да, верно. При любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ является натуральным числом, так как оно равно $n^2+3n+1$.

491. Сравните числа:

а) $0,2\sqrt{200}$ и $10\sqrt{8}$;

б) $7\sqrt{\frac{32}{49}}$ и $0,8\sqrt{50}$;

в) $0,5\sqrt{108}$ и $9\sqrt{3}$;

г) $\frac{5}{2}\sqrt{63}$ и $4,5\sqrt{28}$.

а) Чтобы сравнить числа $0,2\sqrt{200}$ и $10\sqrt{8}$, приведем их к более простому виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в каждом выражении.
Упростим первое число: $0,2\sqrt{200} = 0,2\sqrt{100 \cdot 2} = 0,2 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 0,2 \cdot 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Упростим второе число: $10\sqrt{8} = 10\sqrt{4 \cdot 2} = 10 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Теперь сравним полученные выражения: $2\sqrt{2}$ и $20\sqrt{2}$.
Так как $2 < 20$, и $\sqrt{2}$ — положительное число, то $2\sqrt{2} < 20\sqrt{2}$.
Следовательно, $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.
Ответ: $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.

б) Чтобы сравнить числа $7\sqrt{\frac{32}{49}}$ и $0,8\sqrt{50}$, упростим каждое из них.
Упростим первое число: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{7} = 7 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{7} = 4\sqrt{2}$.
Упростим второе число: $0,8\sqrt{50} = 0,8\sqrt{25 \cdot 2} = 0,8 \cdot 5\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Сравним полученные выражения: $4\sqrt{2}$ и $4\sqrt{2}$.
Они равны.
Следовательно, $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50}$.
Ответ: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50}$.

в) Сравним числа $0,5\sqrt{108}$ и $9\sqrt{3}$. Упростим первое выражение.
$0,5\sqrt{108} = 0,5\sqrt{36 \cdot 3} = 0,5 \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Теперь сравним $3\sqrt{3}$ и $9\sqrt{3}$.
Так как $3 < 9$, то $3\sqrt{3} < 9\sqrt{3}$.
Следовательно, $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.
Ответ: $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.

г) Сравним числа $\frac{5}{2}\sqrt{63}$ и $4,5\sqrt{28}$. Упростим каждое выражение.
Упростим первое число: $\frac{5}{2}\sqrt{63} = \frac{5}{2}\sqrt{9 \cdot 7} = \frac{5}{2} \cdot 3\sqrt{7} = \frac{15}{2}\sqrt{7} = 7,5\sqrt{7}$.
Упростим второе число: $4,5\sqrt{28} = 4,5\sqrt{4 \cdot 7} = 4,5 \cdot 2\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$.
Теперь сравним $7,5\sqrt{7}$ и $9\sqrt{7}$.
Так как $7,5 < 9$, то $7,5\sqrt{7} < 9\sqrt{7}$.
Следовательно, $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.
Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.

490. Вынесите множитель за знак корня:

а) $0,5\sqrt{60a^2}$;

б) $2,1\sqrt{300x^4}$;

в) $0,1\sqrt{150x^3}$;

г) $0,2\sqrt{225a^5}$;

д) $a\sqrt{18a^2b}$;

е) $-m\sqrt{48am^4}$.

а)

Рассмотрим выражение $0,5\sqrt{60a^2}$.

Разложим подкоренное выражение $60a^2$ на множители, выделив полные квадраты: $60a^2 = 4 \cdot 15 \cdot a^2 = (2^2 \cdot a^2) \cdot 15$.

Вынесем множители из-под знака корня, используя правило $\sqrt{k^2}=|k|$: $0,5\sqrt{4 \cdot a^2 \cdot 15} = 0,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{15} = 0,5 \cdot 2 \cdot |a| \cdot \sqrt{15} = |a|\sqrt{15}$.

Ответ: $|a|\sqrt{15}$.

б)

Рассмотрим выражение $2,1\sqrt{300x^4}$.

Разложим подкоренное выражение $300x^4$ на множители: $300x^4 = 100 \cdot 3 \cdot x^4 = (10^2 \cdot (x^2)^2) \cdot 3$.

Вынесем множители из-под знака корня: $2,1\sqrt{100 \cdot x^4 \cdot 3} = 2,1 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{100}=10$ и $\sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}=x^2$ (модуль не нужен, так как $x^2$ всегда неотрицательно), получаем: $2,1 \cdot 10 \cdot x^2 \cdot \sqrt{3} = 21x^2\sqrt{3}$.

Ответ: $21x^2\sqrt{3}$.

в)

Рассмотрим выражение $0,1\sqrt{150x^3}$. Чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $150x^3 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $150x^3 = 25 \cdot 6 \cdot x^2 \cdot x = (5^2 \cdot x^2) \cdot 6x$.

Вынесем множители за знак корня: $0,1\sqrt{25 \cdot x^2 \cdot 6x} = 0,1 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{6x}$.

Учитывая, что $\sqrt{25}=5$ и $\sqrt{x^2}=x$ (поскольку мы установили, что $x \ge 0$), получаем: $0,1 \cdot 5 \cdot x \cdot \sqrt{6x} = 0,5x\sqrt{6x}$.

Ответ: $0,5x\sqrt{6x}$.

г)

Рассмотрим выражение $0,2\sqrt{225a^5}$. Корень определен при $a^5 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $225a^5 = 225 \cdot a^4 \cdot a = (15^2 \cdot (a^2)^2) \cdot a$.

Вынесем множители за знак корня: $0,2\sqrt{225 \cdot a^4 \cdot a} = 0,2 \cdot \sqrt{225} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{a}$.

Так как $\sqrt{225}=15$ и $\sqrt{a^4}=a^2$, получаем: $0,2 \cdot 15 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} = 3a^2\sqrt{a}$.

Ответ: $3a^2\sqrt{a}$.

д)

Рассмотрим выражение $a\sqrt{18a^2b}$. Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение $18a^2b$ должно быть неотрицательным. Поскольку $18>0$ и $a^2 \ge 0$ для любого $a$, это означает, что должно выполняться условие $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами: $18a^2b = 9 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b = (3^2 \cdot a^2) \cdot 2b$.

Теперь вынесем множители за знак корня. Важно помнить, что $\sqrt{k^2} = |k|$. $a\sqrt{9 \cdot a^2 \cdot 2b} = a \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2b} = a \cdot 3 \cdot |a| \cdot \sqrt{2b} = 3a|a|\sqrt{2b}$.

Полученное выражение является окончательным. Его можно также расписать для двух случаев: если $a \ge 0$, то $|a|=a$ и результат равен $3a^2\sqrt{2b}$; если $a < 0$, то $|a|=-a$ и результат равен $-3a^2\sqrt{2b}$.

Ответ: $3a|a|\sqrt{2b}$.

е)

Рассмотрим выражение $-m\sqrt{48am^4}$. Корень определен при $48am^4 \ge 0$. Так как $48>0$ и $m^4 \ge 0$, необходимо, чтобы $a \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $48am^4 = 16 \cdot 3 \cdot a \cdot m^4 = (4^2 \cdot (m^2)^2) \cdot 3a$.

Вынесем множители за знак корня: $-m\sqrt{16 \cdot m^4 \cdot 3a} = -m \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{3a}$.

Так как $\sqrt{16}=4$ и $\sqrt{m^4}=m^2$, получаем: $-m \cdot 4 \cdot m^2 \cdot \sqrt{3a} = -4m^3\sqrt{3a}$.

Ответ: $-4m^3\sqrt{3a}$.

492. Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$;

б) $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$;

в) $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$;

г) $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$, представим их в виде $\sqrt{A}$, внеся множитель под знак корня. Сравнение чисел будет основано на сравнении их подкоренных выражений: чем больше подкоренное выражение, тем больше само число.

Преобразуем каждое число:

$\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.

$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

Число $\sqrt{30}$ уже представлено в нужном виде.

Теперь у нас есть числа $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$ и $\sqrt{98}$. Сравнивая подкоренные выражения, получаем: $30 < 32 < 98$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

б) Чтобы расположить в порядке возрастания числа $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$, внесем множители под знак корня.

Преобразуем числа:

$5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87,5}$.

$\frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{31}{2}} = \sqrt{15,5}$.

Число $\sqrt{17}$ уже представлено в нужном виде.

Сравниваем подкоренные выражения полученных чисел $\sqrt{87,5}$, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{15,5}$: $15,5 < 17 < 87,5$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

в) Для сравнения чисел $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$ приведем их к виду $\sqrt{A}$.

Выполним преобразования:

$8\sqrt{0,2} = \sqrt{8^2 \cdot 0,2} = \sqrt{64 \cdot 0,2} = \sqrt{12,8}$.

$\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.

Число $\sqrt{41}$ не требует преобразований.

Сравним подкоренные выражения: $12,8 < 40 < 41$.

Следовательно, верный порядок возрастания: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

Ответ: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

г) Чтобы расположить в порядке возрастания числа $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$, внесем множители под знак корня.

Преобразуем выражения:

$12\sqrt{0,5} = \sqrt{12^2 \cdot 0,5} = \sqrt{144 \cdot 0,5} = \sqrt{72}$.

$\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.

Число $\sqrt{89}$ уже представлено в нужном виде.

Сравниваем подкоренные выражения $72, 89, 90$. Так как $72 < 89 < 90$, то и $\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}$.

В результате получаем следующий порядок возрастания для исходных чисел: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.

Ответ: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.