Страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

479. Известно, что $a < 0$ и $b < 0$. Представьте выражение:

а) $\sqrt{ab}$ в виде произведения корней;

б) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в виде частного корней.

а)

По условию задачи, переменные $a$ и $b$ являются отрицательными числами, то есть $a < 0$ и $b < 0$. Следовательно, их произведение $ab$ будет положительным числом, и квадратный корень $\sqrt{ab}$ определен в области действительных чисел.

Стандартное свойство корня из произведения, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, применимо только для неотрицательных значений $x$ и $y$. Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, мы не можем записать $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, так как $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ не определены в области действительных чисел.

Чтобы правильно представить выражение, воспользуемся тем, что если $a < 0$, то $-a > 0$. Аналогично, если $b < 0$, то $-b > 0$. Мы можем переписать произведение $ab$ следующим образом:
$ab = (-a)(-b)$.

Теперь подкоренное выражение является произведением двух положительных чисел ($-a$ и $-b$). Для них свойство корня из произведения справедливо:
$\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.

Это и есть представление выражения $\sqrt{ab}$ в виде произведения корней при заданных условиях.

Ответ: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$

б)

Аналогично пункту а), по условию $a < 0$ и $b < 0$. Это означает, что их частное $\frac{a}{b}$ является положительным числом, и выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ определено.

Свойство корня из частного, $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$, применимо только для $x \ge 0$ и $y > 0$. Так как $a$ и $b$ отрицательны, напрямую это свойство использовать нельзя.

Преобразуем дробь под корнем. Умножим числитель и знаменатель на $-1$, что не изменит значения дроби:
$\frac{a}{b} = \frac{-1 \cdot a}{-1 \cdot b} = \frac{-a}{-b}$.

Теперь в дроби $\frac{-a}{-b}$ и числитель ($-a$), и знаменатель ($-b$) являются положительными числами. Для них свойство корня из частного справедливо:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$.

Таким образом, мы представили выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в виде частного корней.

Ответ: $\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$

481. Вычислите:

а) $3\sqrt{(-2)^6}$;

б) $-2\sqrt{10^4}$;

в) $-3\sqrt{5^4}$;

г) $0.1\sqrt{2^{10}}$;

д) $0.1\sqrt{(-3)^8}$;

е) $100\sqrt{0.1^{10}}$;

ж) $-\sqrt{(-2)^{12}};$

з) $2.5\sqrt{(-0.1)^4}$.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: для любого числа $a$ и натурального числа $k$ справедливо равенство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
В нашем случае $a = -2$ и $2k = 6$, следовательно, $k=3$.
$3\sqrt{(-2)^6} = 3\sqrt{((-2)^3)^2} = 3 \cdot |(-2)^3| = 3 \cdot |-8| = 3 \cdot 8 = 24$.
Другой способ — сначала возвести число в степень под корнем: $(-2)^6 = 64$. Тогда $3\sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: 24.

б) Используем то же свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = 10$ и $2k = 4$, значит $k=2$.
$-2\sqrt{10^4} = -2\sqrt{(10^2)^2} = -2 \cdot |10^2| = -2 \cdot 100 = -200$.
Ответ: -200.

в) Применим свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = 5$ и $2k = 4$, значит $k=2$.
$-3\sqrt{5^4} = -3\sqrt{(5^2)^2} = -3 \cdot |5^2| = -3 \cdot 25 = -75$.
Ответ: -75.

г) Используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = 2$ и $2k = 10$, значит $k=5$.
$0,1\sqrt{2^{10}} = 0,1\sqrt{(2^5)^2} = 0,1 \cdot |2^5| = 0,1 \cdot 32 = 3,2$.
Ответ: 3,2.

д) Применим свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = -3$ и $2k = 8$, значит $k=4$.
$0,1\sqrt{(-3)^8} = 0,1\sqrt{((-3)^4)^2} = 0,1 \cdot |(-3)^4| = 0,1 \cdot |81| = 0,1 \cdot 81 = 8,1$.
Ответ: 8,1.

е) Используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = 0,1$ и $2k = 10$, значит $k=5$.
$100\sqrt{0,1^{10}} = 100\sqrt{(0,1^5)^2} = 100 \cdot |0,1^5| = 100 \cdot 0,00001 = 0,001$.
Ответ: 0,001.

ж) Применим свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = -2$ и $2k = 12$, значит $k=6$.
$-\sqrt{(-2)^{12}} = -\sqrt{((-2)^6)^2} = -|(-2)^6| = -|64| = -64$.
Ответ: -64.

з) Используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Здесь $a = -0,1$ и $2k = 4$, значит $k=2$.
$2,5\sqrt{(-0,1)^4} = 2,5\sqrt{((-0,1)^2)^2} = 2,5 \cdot |(-0,1)^2| = 2,5 \cdot |0,01| = 2,5 \cdot 0,01 = 0,025$.
Ответ: 0,025.

483. При каких значениях $x$ верно равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$, необходимо проанализировать область допустимых значений (ОДЗ) для левой и правой частей равенства.

1. Левая часть: $\sqrt{x^2}$

Подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Следовательно, левая часть равенства определена для всех $x \in \mathbb{R}$. По определению арифметического квадратного корня, корень из квадрата числа равен его модулю:

$\sqrt{x^2} = |x|$

2. Правая часть: $(\sqrt{x})^2$

Выражение $\sqrt{x}$ (арифметический квадратный корень) определено только для неотрицательных значений $x$. Таким образом, область определения правой части — это $x \ge 0$. При выполнении этого условия, возведение корня из $x$ в квадрат дает само число $x$:

$(\sqrt{x})^2 = x$

Определение ОДЗ и решение

Чтобы исходное равенство было верным, переменная $x$ должна принадлежать области определения обеих его частей одновременно. Область определения левой части — это все действительные числа, а правой — только неотрицательные. Пересечением этих двух множеств является промежуток $[0; +\infty)$.

Теперь решим уравнение на найденной ОДЗ, то есть для $x \ge 0$. Подставим упрощенные выражения в исходное равенство:

$|x| = x$

Согласно определению модуля, равенство $|x| = x$ справедливо для всех неотрицательных чисел. Так как мы и рассматриваем уравнение именно при $x \ge 0$, то оно выполняется для всех значений из своей области допустимых значений.

Вывод

Равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$ верно при всех $x$, для которых оно определено, то есть для всех неотрицательных $x$.

Ответ: $x \ge 0$ (или в виде промежутка $x \in [0; +\infty)$).

485. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$;

б) $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x}$;

в) $y = x\sqrt{x^2}$;

г) $y = -x\sqrt{x^2}$.

а) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$

Первым шагом упростим выражение, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): в знаменателе находится переменная $x$, поэтому $x$ не может быть равен нулю. ОДЗ: $x \neq 0$.

Теперь рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Функция упрощается до $y = \frac{x}{x} = 1$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция упрощается до $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Следовательно, график функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y = 1$ при $x > 0$;
• горизонтальный луч $y = -1$ при $x < 0$.

Так как $x=0$ не входит в область определения, на графике в точке с абсциссой $0$ будет разрыв. Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ не принадлежат графику, их принято изображать "выколотыми" (в виде пустого кружка).

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: прямая $y=1$ для $x>0$ и прямая $y=-1$ для $x<0$. В точке $x=0$ функция не определена.

б) $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x}$

Упростим данное выражение. Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $y = \frac{-2|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2x}{x} = -2$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2(-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.

График этой функции также состоит из двух горизонтальных лучей. В точке $x=0$ функция не определена, поэтому на графике в точках $(0, 2)$ и $(0, -2)$ будут выколотые точки.

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: прямая $y=2$ для $x<0$ и прямая $y=-2$ для $x>0$. В точке $x=0$ функция не определена.

в) $y = x\sqrt{x^2}$

Сначала упростим формулу функции, применив тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Получим: $y = x|x|$.

Область определения функции (ОДЗ): выражение имеет смысл для любых действительных значений $x$. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух интервалов:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$. Графиком на этом промежутке является правая ветвь параболы $y=x^2$, выходящая из начала координат.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Графиком на этом промежутке является левая ветвь параболы $y=-x^2$, также проходящая через начало координат.

Итоговый график представляет собой комбинацию двух ветвей парабол, которые плавно соединяются в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x \ge 0$ это график параболы $y=x^2$, а для $x < 0$ это график параболы $y=-x^2$.

г) $y = -x\sqrt{x^2}$

Упростим выражение, используя $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция преобразуется к виду: $y = -x|x|$.

Область определения функции (ОДЗ): функция определена для всех действительных чисел. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Раскроем модуль, разбив на два случая:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot x = -x^2$. Графиком на этом промежутке является правая ветвь параболы $y=-x^2$, направленной ветвями вниз.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot (-x) = x^2$. Графиком на этом промежутке является левая ветвь параболы $y=x^2$, направленной ветвями вверх.

График состоит из двух частей парабол, соединенных в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x \ge 0$ это график параболы $y=-x^2$, а для $x < 0$ это график параболы $y=x^2$.

478. Вычислите:

a) $15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45};$

б) $0,3\sqrt{10} \cdot 0,2\sqrt{15} \cdot 0,5\sqrt{6};$

в) $\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}};$

г) $\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45}$, сгруппируем множители-коэффициенты и множители под корнями.
$15\sqrt{20} \cdot 0,1\sqrt{45} = (15 \cdot 0,1) \cdot (\sqrt{20} \cdot \sqrt{45})$
Сначала перемножим коэффициенты перед корнями:
$15 \cdot 0,1 = 1,5$
Затем, используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, перемножим подкоренные выражения:
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{900}$
Вычислим значение корня:
$\sqrt{900} = 30$
Теперь перемножим полученные результаты:
$1,5 \cdot 30 = 45$
Ответ: 45

б) Для вычисления выражения $0,3\sqrt{10} \cdot 0,2\sqrt{15} \cdot 0,5\sqrt{6}$ сгруппируем коэффициенты и корни.
$(0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5) \cdot (\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{6})$
Перемножим коэффициенты:
$0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5 = 0,06 \cdot 0,5 = 0,03$
Перемножим подкоренные выражения:
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{10 \cdot 15 \cdot 6} = \sqrt{150 \cdot 6} = \sqrt{900}$
Вычислим корень:
$\sqrt{900} = 30$
Перемножим результаты:
$0,03 \cdot 30 = 0,9$
Ответ: 0,9

в) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}}$, разделим вычисление на две части: деление коэффициентов и деление корней.
$\frac{8\sqrt{5}}{0,4\sqrt{0,2}} = \frac{8}{0,4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{0,2}}$
Разделим коэффициенты:
$\frac{8}{0,4} = \frac{80}{4} = 20$
Используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, разделим корни:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{5}{0,2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}$
Вычислим корень:
$\sqrt{25} = 5$
Перемножим полученные результаты:
$20 \cdot 5 = 100$
Ответ: 100

г) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}}$, представим его как произведение коэффициента и частного корней.
$\frac{\sqrt{0,48}}{5\sqrt{12}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{0,48}}{\sqrt{12}}$
Применим свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{0,48}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{0,48}{12}}$
Выполним деление под знаком корня:
$\frac{0,48}{12} = 0,04$
Вычислим значение корня:
$\sqrt{0,04} = 0,2$
Теперь умножим результат на коэффициент $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{5} \cdot 0,2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$
Ответ: 0,04

480. Найдите значение выражения (если оно имеет смысл):

а) $ \sqrt{(-12)^2}; $

б) $ -\sqrt{10^2}; $

в) $ \sqrt{-10^2}; $

г) $ -\sqrt{(-11)^2}; $

д) $ \sqrt{-(-15)^2}; $

е) $ -\sqrt{(-25)^2}. $

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-12)^2}$ воспользуемся определением арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12$.
Также можно сначала возвести число в квадрат под корнем: $(-12)^2 = 144$. Затем извлечь корень: $\sqrt{144} = 12$.
Ответ: 12

б) В выражении $-\sqrt{10^2}$ сначала найдем значение корня, а затем применим знак минус. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{10^2} = |10| = 10$.
Следовательно, всё выражение равно:
$-\sqrt{10^2} = -10$.
Ответ: -10

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{-10^2}$. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус. Таким образом, подкоренное выражение равно:
$-10^2 = -(10 \times 10) = -100$.
Получаем выражение $\sqrt{-100}$. Арифметический квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не определён. Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

г) В выражении $-\sqrt{(-11)^2}$ сначала вычислим значение подкоренного выражения. По свойству $\sqrt{a^2} = |a|$ имеем:
$\sqrt{(-11)^2} = |-11| = 11$.
Теперь применим знак минус, стоящий перед корнем:
$-\sqrt{(-11)^2} = -11$.
Ответ: -11

д) Рассмотрим выражение $\sqrt{-(-15)^2}$. Вычислим значение подкоренного выражения, соблюдая порядок действий. Сначала возведение в квадрат, затем унарный минус:
$(-15)^2 = 225$.
$-(-15)^2 = -(225) = -225$.
Получаем выражение $\sqrt{-225}$. Так как подкоренное выражение отрицательно, оно не имеет смысла в области действительных чисел.
Ответ: выражение не имеет смысла.

е) В выражении $-\sqrt{(-25)^2}$ сначала найдем значение корня. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(-25)^2} = |-25| = 25$.
Подставляем найденное значение обратно в выражение:
$-\sqrt{(-25)^2} = -25$.
Ответ: -25

482. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{4^3}$;

б) $\sqrt{9^5}$;

в) $\sqrt{16^5}$;

г) $\sqrt{25^3}$;

д) $\sqrt{8 \cdot 162}$;

е) $\sqrt{96 \cdot 486}$;

ж) $\sqrt{750 \cdot 270}$;

з) $\sqrt{194 \cdot 776}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{4^3}$ можно использовать свойство корня из степени: $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$ или $\sqrt{a^{2k} \cdot b} = a^k \sqrt{b}$.

Представим степень $4^3$ как $4^2 \cdot 4$:

$\sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} = \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{4}$

Так как $\sqrt{4^2} = 4$ и $\sqrt{4} = 2$, получаем:

$4 \cdot 2 = 8$

Другой способ — сначала возвести в степень, а затем извлечь корень:

$4^3 = 64$

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{9^5}$ представим степень $9^5$ как $9^4 \cdot 9$:

$\sqrt{9^5} = \sqrt{9^4 \cdot 9} = \sqrt{9^4} \cdot \sqrt{9}$

Используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$, получаем $\sqrt{9^4} = 9^{4/2} = 9^2 = 81$.

Также $\sqrt{9} = 3$.

Тогда:

$81 \cdot 3 = 243$

Другой способ:

$\sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Ответ: 243

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{16^5}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:

$\sqrt{16^5} = (\sqrt{16})^5$

Так как $\sqrt{16} = 4$, получаем:

$4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024$

Ответ: 1024

г)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{25^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:

$\sqrt{25^3} = (\sqrt{25})^3$

Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

д)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{8 \cdot 162}$ разложим подкоренные множители так, чтобы выделить полные квадраты. Используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Разложим число 162 на множители: $162 = 2 \cdot 81$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{8 \cdot 162} = \sqrt{8 \cdot (2 \cdot 81)} = \sqrt{(8 \cdot 2) \cdot 81} = \sqrt{16 \cdot 81}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{16} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 9 = 36$

Ответ: 36

е)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{96 \cdot 486}$ разложим числа 96 и 486 на простые множители.

$96 = 2^5 \cdot 3$

$486 = 2 \cdot 3^5$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{96 \cdot 486} = \sqrt{(2^5 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^5)} = \sqrt{2^5 \cdot 2 \cdot 3^5 \cdot 3} = \sqrt{2^6 \cdot 3^6}$

Используя свойства степеней и корней, получаем:

$\sqrt{2^6 \cdot 3^6} = \sqrt{(2 \cdot 3)^6} = \sqrt{6^6} = 6^{6/2} = 6^3 = 216$

Ответ: 216

ж)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{750 \cdot 270}$ разложим подкоренные множители, выделив удобные для извлечения корня части.

$750 = 75 \cdot 10 = (25 \cdot 3) \cdot 10$

$270 = 27 \cdot 10$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{750 \cdot 270} = \sqrt{(25 \cdot 3 \cdot 10) \cdot (27 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot (3 \cdot 27) \cdot (10 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 81 \cdot 100}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 9 \cdot 10 = 450$

Ответ: 450

з)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{194 \cdot 776}$ попробуем разложить множители на сомножители. Заметим, что $776 = 4 \cdot 194$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{194 \cdot 776} = \sqrt{194 \cdot (4 \cdot 194)} = \sqrt{194^2 \cdot 4}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{194^2} \cdot \sqrt{4} = 194 \cdot 2 = 388$

Ответ: 388

484. При каких значениях переменной верно равенство:

а) $\sqrt{y^4} = y^2;$

б) $\sqrt{x^{12}} = x^6;$

в) $\sqrt{x^6} = x^3;$

г) $\sqrt{c^{10}} = -c^5;$

д) $\sqrt{a^{14}} = -a^7;$

е) $\sqrt{b^8} = b^4?$

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{y^4} = y^2$. Основное свойство арифметического квадратного корня гласит: $\sqrt{A^2} = |A|$. Преобразуем левую часть исходного равенства, представив подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2}$. Применив указанное свойство, где в качестве $A$ выступает $y^2$, получаем $|y^2|$. Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $|y^2| = y^2$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно, то есть $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$. По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно, равенство $|y^2| = y^2$ верно при любых значениях $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$. Используя свойство $\sqrt{A^2} = |A|$, преобразуем левую часть: $\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$. Исходное равенство можно переписать в виде $|x^6| = x^6$. Поскольку показатель степени 6 является четным числом, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Так как $x^6$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому выражению. Следовательно, равенство верно при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^6} = x^3$. Преобразуем левую часть, используя свойство $\sqrt{A^2} = |A|$: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. Равенство принимает вид $|x^3| = x^3$. По определению модуля, равенство $|A| = A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $A \ge 0$. В нашем случае это означает, что должно выполняться условие $x^3 \ge 0$. Неравенство $x^3 \ge 0$ справедливо для всех неотрицательных значений $x$.
Ответ: $x \ge 0$.

г) Рассмотрим равенство $\sqrt{c^{10}} = -c^5$. Преобразуем левую часть: $\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$. Исходное равенство принимает вид $|c^5| = -c^5$. По определению модуля, равенство $|A| = -A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $A \le 0$. Применительно к нашему случаю, это означает, что должно выполняться условие $c^5 \le 0$. Поскольку показатель степени 5 нечетный, неравенство $c^5 \le 0$ справедливо для всех неположительных значений $c$.
Ответ: $c \le 0$.

д) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^{14}} = -a^7$. Используя свойство $\sqrt{A^2} = |A|$, преобразуем левую часть: $\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$. Равенство принимает вид $|a^7| = -a^7$. Равенство вида $|A| = -A$ истинно, если выражение под модулем неположительно, то есть $A \le 0$. Следовательно, нам необходимо, чтобы выполнялось условие $a^7 \le 0$. Поскольку показатель степени 7 нечетный, неравенство $a^7 \le 0$ выполняется при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

е) Рассмотрим равенство $\sqrt{b^8} = b^4$. Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt{b^8} = \sqrt{(b^4)^2} = |b^4|$. Исходное равенство эквивалентно $|b^4| = b^4$. Выражение $b^4$ имеет четный показатель степени, поэтому оно всегда неотрицательно ($b^4 \ge 0$) для любого действительного числа $b$. Модуль неотрицательного выражения равен самому выражению, поэтому равенство $|b^4| = b^4$ является верным для всех значений $b$.
Ответ: $b$ - любое число.