Страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

471. При каких значениях переменной $x$ имеет смысл выражение:

а) $\frac{4}{\sqrt{x}}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$;

в) $\frac{5}{\sqrt{x-1}}$?

а) Чтобы выражение $\frac{4}{\sqrt{x}}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt{x} \ne 0$, что равносильно $x \ne 0$. Объединив эти два условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем, что переменная $x$ должна быть строго больше нуля.

Ответ: $x > 0$.

б) Чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, знаменатель не должен равняться нулю: $\sqrt{x}+2 \ne 0$. Условие $\sqrt{x}+2 \ne 0$ эквивалентно $\sqrt{x} \ne -2$. Поскольку по определению арифметический квадратный корень всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), он никогда не может быть равен -2. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль при допустимых значениях $x$. Таким образом, единственным ограничением является неотрицательность подкоренного выражения.

Ответ: $x \ge 0$.

в) Чтобы выражение $\frac{5}{\sqrt{x}-1}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x}-1 \ne 0$. Решим уравнение $\sqrt{x}-1 = 0$. Перенеся 1 в правую часть, получим $\sqrt{x} = 1$. Возведя обе части в квадрат, найдем $x = 1$. Следовательно, значение $x=1$ является недопустимым. Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ne 1$), получаем, что выражение имеет смысл для всех неотрицательных значений $x$, кроме единицы.

Ответ: $x \ge 0$ и $x \ne 1$.

473. Расстояние между двумя точками координатной плоскости A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) вычисляется по формуле

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Вычислите расстояние между точками A(-3,5; 4,3) и B(7,8; 0,4) с помощью калькулятора.

Для вычисления расстояния $d$ между двумя точками на координатной плоскости $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ применяется формула:
$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

В условии задачи даны точки $A(-3,5; 4,3)$ и $B(7,8; 0,4)$. Определим их координаты для подстановки в формулу:
$x_1 = -3,5$; $y_1 = 4,3$
$x_2 = 7,8$; $y_2 = 0,4$

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления пошагово:
1. Выполним вычитание координат:
$d = \sqrt{(-3,5 - 7,8)^2 + (4,3 - 0,4)^2}$
$d = \sqrt{(-11,3)^2 + (3,9)^2}$

2. Возведем полученные разности в квадрат:
$d = \sqrt{127,69 + 15,21}$

3. Сложим значения под корнем:
$d = \sqrt{142,9}$

4. С помощью калькулятора вычислим значение квадратного корня:
$d = \sqrt{142,9} \approx 11,9540787...$
Округляя результат до сотых, получаем $d \approx 11,95$.

Ответ: $\sqrt{142,9} \approx 11,95$.

475. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях $b$ уравнение:

а) $\sqrt{x} = x + b$;

б) $\sqrt{x} = -x + b$.

Для решения уравнения $ \sqrt{x} = x + b $ графическим методом рассмотрим две функции: $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x + b $. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — это верхняя ветвь параболы, ось которой совпадает с осью $Ox$. Область определения функции — $ x \ge 0 $, область значений — $ y \ge 0 $.

График функции $ y = x + b $ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $ k=1 $. Параметр $ b $ определяет сдвиг прямой по оси $ Oy $ (является ординатой точки пересечения с осью $Oy$).

Проанализируем взаимное расположение этих графиков в зависимости от значения параметра $b$.

1. Найдем значение $b$, при котором прямая $ y = x + b $ касается графика $ y = \sqrt{x} $. В точке касания угловой коэффициент касательной к кривой $ y = \sqrt{x} $ должен быть равен угловому коэффициенту прямой, то есть 1. Производная функции $ y = \sqrt{x} $ равна $ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Приравняем производную к 1: $ \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 $. Отсюда $ \sqrt{x} = \frac{1}{2} $, что дает $ x = \frac{1}{4} $. Найдем координату $y$ точки касания: $ y = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $. Таким образом, точка касания — $ (\frac{1}{4}; \frac{1}{2}) $. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой $ y = x + b $, чтобы найти соответствующее значение $b$: $ \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + b $, откуда $ b = \frac{1}{4} $. При $ b = \frac{1}{4} $ прямая касается графика, значит, уравнение имеет один корень.

2. Если $ b > \frac{1}{4} $, прямая $ y = x + b $ расположена выше касательной и не имеет общих точек с графиком $ y = \sqrt{x} $. Следовательно, уравнение не имеет корней.

3. Если $ b < \frac{1}{4} $, прямая $ y = x + b $ пересекает график $ y = \sqrt{x} $. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через начало координат $ (0;0) $, которое является начальной точкой графика $ y=\sqrt{x} $. Это происходит при $ b=0 $. Уравнение принимает вид $ \sqrt{x} = x $. Его корни $ x=0 $ и $ x=1 $. То есть при $b=0$ уравнение имеет два корня. При $ 0 \le b < \frac{1}{4} $ прямая пересекает кривую в двух точках.

4. Если $ b < 0 $, то прямая $ y = x + b $ пересекает ось $Oy$ в отрицательной ее части. Поскольку график $ y = \sqrt{x} $ начинается в точке $ (0;0) $ и уходит вправо и вверх, а прямая $ y=x+b $ также возрастает, но имеет отрицательный y-перехват, они пересекутся ровно в одной точке в первой четверти. Таким образом, при $b<0$ уравнение имеет один корень.

Итог исследования:

• Если $ b > \frac{1}{4} $, корней нет.
• Если $ b = \frac{1}{4} $ или $ b < 0 $, уравнение имеет один корень.
• Если $ 0 \le b < \frac{1}{4} $, уравнение имеет два корня.

Ответ: если $b > \frac{1}{4}$, корней нет; если $b = \frac{1}{4}$ или $b < 0$, то один корень; если $0 \le b < \frac{1}{4}$, то два корня.

Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x} = -x + b $. Аналогично пункту а), исследуем пересечение графиков функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = -x + b $.

График $ y = \sqrt{x} $ расположен в первой координатной четверти, начинается в точке $(0;0)$ и является возрастающей функцией.

График $ y = -x + b $ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $ k=-1 $. Это убывающие прямые. Параметр $ b $ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от $b$.

1. Если $ b < 0 $. Прямая $ y = -x + b $ пересекает ось $Oy$ в точке $ (0, b) $, где $ b < 0 $. Для $ x \ge 0 $ (область определения $ \sqrt{x} $) значения функции $ y = -x + b $ будут отрицательными ($ -x \le 0 $, поэтому $ -x+b < b < 0 $). В то же время значения функции $ y = \sqrt{x} $ всегда неотрицательны ($ \ge 0 $). Так как одна функция принимает только отрицательные значения, а другая — только неотрицательные, их графики не могут пересечься. Следовательно, при $ b < 0 $ уравнение не имеет корней.

2. Если $ b \ge 0 $. Прямая $ y = -x + b $ пересекает ось $Oy$ в точке $ (0,b) $ на неотрицательной полуоси. График $ y=\sqrt{x} $ начинается в $ (0,0) $ и возрастает, а график $ y=-x+b $ начинается в $ (0,b) $ и убывает. Так как одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает на области определения $x \ge 0$, их графики могут пересечься не более одного раза. Поскольку при $x=0$ значение $y=\sqrt{x}$ равно 0, а значение $y=-x+b$ равно $b \ge 0$, а при достаточно большом $x$ значение $\sqrt{x}$ будет больше, чем $-x+b$ (которое станет отрицательным), то графики обязательно пересекутся. Таким образом, при $ b \ge 0 $ существует ровно одна точка пересечения.

Ответ: если $b < 0$, корней нет; если $b \ge 0$, то один корень.

472. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{0,16} + (2\sqrt{0,1})^2$;

б) $(0,2\sqrt{10})^2 + 0,5\sqrt{16}$;

в) $\sqrt{144} - 0,5(\sqrt{12})^2$;

г) $(3\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2$;

д) $(5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2$;

е) $(-3\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{6})^2$.

а) Для решения выражения $\sqrt{0,16} + (2\sqrt{0,1})^2$ выполним действия по порядку. Сначала извлечем корень и возведем в степень, затем сложим результаты.
$\sqrt{0,16} = 0,4$.
$(2\sqrt{0,1})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{0,1})^2 = 4 \cdot 0,1 = 0,4$.
Складываем полученные значения: $0,4 + 0,4 = 0,8$.
Полное решение выглядит так: $\sqrt{0,16} + (2\sqrt{0,1})^2 = 0,4 + 4 \cdot 0,1 = 0,4 + 0,4 = 0,8$.
Ответ: $0,8$.

б) В выражении $(0,2\sqrt{10})^2 + 0,5\sqrt{16}$ сначала выполним возведение в степень и извлечение корня.
$(0,2\sqrt{10})^2 = (0,2)^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 0,04 \cdot 10 = 0,4$.
$0,5\sqrt{16} = 0,5 \cdot 4 = 2$.
Теперь сложим результаты: $0,4 + 2 = 2,4$.
Полное решение: $(0,2\sqrt{10})^2 + 0,5\sqrt{16} = 0,04 \cdot 10 + 0,5 \cdot 4 = 0,4 + 2 = 2,4$.
Ответ: $2,4$.

в) В выражении $\sqrt{144} - 0,5(\sqrt{12})^2$ найдем значения корня и степени, а затем выполним вычитание.
$\sqrt{144} = 12$.
$0,5(\sqrt{12})^2 = 0,5 \cdot 12 = 6$.
Вычитаем: $12 - 6 = 6$.
Полное решение: $\sqrt{144} - 0,5(\sqrt{12})^2 = 12 - 0,5 \cdot 12 = 12 - 6 = 6$.
Ответ: $6$.

г) Для выражения $(3\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2$ возведем в квадрат каждое слагаемое.
$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
$(-3\sqrt{3})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
Складываем результаты: $27 + 27 = 54$.
Полное решение: $(3\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 + 9 \cdot 3 = 27 + 27 = 54$.
Ответ: $54$.

д) В выражении $(5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2$ возведем в квадрат уменьшаемое и вычитаемое.
$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Находим разность: $50 - 20 = 30$.
Полное решение: $(5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 2 - 4 \cdot 5 = 50 - 20 = 30$.
Ответ: $30$.

е) В выражении $(-3\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{6})^2$ вычислим каждое слагаемое.
$(-3\sqrt{6})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
$3(\sqrt{6})^2 = 3 \cdot 6 = 18$.
Находим разность: $54 - 18 = 36$.
Полное решение: $(-3\sqrt{6})^2 - 3(\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 - 3 \cdot 6 = 54 - 18 = 36$.
Ответ: $36$.

474. Сравните числа:

а) $\sqrt{7,5}$ и $\sqrt{7,6}$;

б) $\sqrt{0,1}$ и $\sqrt{0,01}$;

в) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,3}$;

г) $\sqrt{2,16}$ и $\sqrt{2\frac{1}{6}}$;

д) $\sqrt{\frac{5}{9}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$;

е) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,(3)}$;

ж) $\sqrt{7}$ и $2,6$;

з) $3,2$ и $\sqrt{9,8}$;

и) $\sqrt{1,23}$ и $1,1$.

а) Для сравнения чисел $\sqrt{7,5}$ и $\sqrt{7,6}$ достаточно сравнить их подкоренные выражения. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним подкоренные выражения: $7,5$ и $7,6$. Поскольку $7,5 < 7,6$, то и $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.
Ответ: $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.

б) Сравним подкоренные выражения $0,1$ и $0,01$. Так как $0,1 > 0,01$, то $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.
Ответ: $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.

в) Сравним подкоренные выражения $\frac{1}{3}$ и $0,3$. Для этого представим оба числа в одном виде, например, в виде обыкновенных дробей. $0,3 = \frac{3}{10}$. Теперь сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{10}$. Приведем их к общему знаменателю $30$: $\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$ и $\frac{3}{10} = \frac{9}{30}$. Так как $\frac{10}{30} > \frac{9}{30}$, то $\frac{1}{3} > 0,3$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.

г) Сравним подкоренные выражения $2,16$ и $2\frac{1}{6}$. Переведем смешанное число в десятичную дробь: $2\frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = 2 + 0,1666... = 2,1(6)$. Сравнивая десятичные дроби $2,16$ и $2,1(6)$, видим, что $2,16 < 2,1666...$. Значит, $2,16 < 2\frac{1}{6}$, и поэтому $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.

д) Сравним подкоренные выражения $\frac{5}{9}$ и $\frac{6}{11}$. Приведем дроби к общему знаменателю $99$: $\frac{5}{9} = \frac{55}{99}$ и $\frac{6}{11} = \frac{54}{99}$. Так как $\frac{55}{99} > \frac{54}{99}$, то $\frac{5}{9} > \frac{6}{11}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.

е) Сравним подкоренные выражения $\frac{1}{3}$ и $0,(3)$. Бесконечная периодическая десятичная дробь $0,(3)$ (читается "ноль целых и три в периоде") по определению равна обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$. Так как подкоренные выражения равны, $0,(3) = \frac{1}{3}$, то и сами числа равны.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{0,(3)}$.

ж) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и $2,6$, возведем второе число в квадрат и представим его в виде корня. $2,6^2 = 6,76$, значит $2,6 = \sqrt{6,76}$. Теперь сравним подкоренные выражения: $7$ и $6,76$. Так как $7 > 6,76$, то $\sqrt{7} > \sqrt{6,76}$, а значит $\sqrt{7} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7} > 2,6$.

з) Чтобы сравнить $3,2$ и $\sqrt{9,8}$, возведем $3,2$ в квадрат. $3,2^2 = 10,24$, значит $3,2 = \sqrt{10,24}$. Сравним подкоренные выражения: $10,24$ и $9,8$. Так как $10,24 > 9,8$, то $\sqrt{10,24} > \sqrt{9,8}$, а значит $3,2 > \sqrt{9,8}$.
Ответ: $3,2 > \sqrt{9,8}$.

и) Чтобы сравнить $\sqrt{1,23}$ и $1,1$, возведем $1,1$ в квадрат. $1,1^2 = 1,21$, значит $1,1 = \sqrt{1,21}$. Сравним подкоренные выражения: $1,23$ и $1,21$. Так как $1,23 > 1,21$, то $\sqrt{1,23} > \sqrt{1,21}$, а значит $\sqrt{1,23} > 1,1$.
Ответ: $\sqrt{1,23} > 1,1$.

477. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$;

б) $\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}}$;

в) $\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}}$;

г) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}}$.

а) Чтобы найти значение корня, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для числителя подкоренного выражения.
$\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 - 124)(165 + 124)}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}}$
Сократим дробь, заметив, что $164 = 4 \cdot 41$:
$\sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}}$
Теперь извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5$
Ответ: 8,5

б) В данном выражении применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к знаменателю.
$\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 - 112)(176 + 112)}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}}$
Упростим подкоренное выражение, разложив числа на множители: $98 = 2 \cdot 49$ и $288 = 2 \cdot 144$.
$\sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144}} = \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}}$
Извлечем корень. Используем свойство $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$:
$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96}$
Ответ: $\frac{7}{96}$

в) Здесь мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ как для числителя, так и для знаменателя.
Числитель: $149^2 - 76^2 = (149 - 76)(149 + 76) = 73 \cdot 225$.
Знаменатель: $457^2 - 384^2 = (457 - 384)(457 + 384) = 73 \cdot 841$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}}$
Сокращаем дробь на общий множитель 73:
$\sqrt{\frac{225}{841}}$
Извлекаем квадратный корень:
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29}$
Ответ: $\frac{15}{29}$

г) Аналогично предыдущему пункту, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к числителю и знаменателю.
Числитель: $145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242$.
Знаменатель: $193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225$.
Подставляем в выражение:
$\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}}$
Упростим дробь, разложив $242 = 2 \cdot 121$ и $162 = 2 \cdot 81$:
$\sqrt{\frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}}$
Извлекаем корень из произведения:
$\frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}$
Ответ: $\frac{77}{135}$

476. Вычислите:

а) $\sqrt{196 \cdot 0.81 \cdot 0.36}$;

б) $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 5\frac{4}{9} \cdot 0.01}$;

в) $\sqrt{0.87 \cdot 49 + 0.82 \cdot 49}$;

г) $\sqrt{1.44 \cdot 1.21 - 1.44 \cdot 0.4}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{196 \cdot 0.81 \cdot 0.36}$ воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: корень из произведения равен произведению корней из множителей.
$\sqrt{196 \cdot 0.81 \cdot 0.36} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{0.81} \cdot \sqrt{0.36}$
Вычисляем значения корней:
$\sqrt{196} = 14$
$\sqrt{0.81} = 0.9$
$\sqrt{0.36} = 0.6$
Теперь перемножим полученные результаты:
$14 \cdot 0.9 \cdot 0.6 = 12.6 \cdot 0.6 = 7.56$
Ответ: 7,56

б) Для вычисления выражения $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 5\frac{4}{9} \cdot 0.01}$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а десятичную дробь — в обыкновенную.
$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$
$0.01 = \frac{1}{100}$
Подставим преобразованные числа в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{25}{16} \cdot \frac{49}{9} \cdot \frac{1}{100}}$
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{49}{9}} \cdot \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{10}$
Перемножим полученные дроби:
$\frac{5 \cdot 7 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{35}{120}$
Сократим дробь на 5:
$\frac{35 \div 5}{120 \div 5} = \frac{7}{24}$
Ответ: $\frac{7}{24}$

в) В выражении под корнем $\sqrt{0.87 \cdot 49 + 0.82 \cdot 49}$ можно вынести за скобки общий множитель 49.
$\sqrt{49 \cdot (0.87 + 0.82)}$
Выполним сложение в скобках:
$0.87 + 0.82 = 1.69$
Теперь выражение имеет вид:
$\sqrt{49 \cdot 1.69}$
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{49} \cdot \sqrt{1.69} = 7 \cdot 1.3 = 9.1$
Ответ: 9,1

г) В выражении под корнем $\sqrt{1.44 \cdot 1.21 - 1.44 \cdot 0.4}$ можно вынести за скобки общий множитель 1,44.
$\sqrt{1.44 \cdot (1.21 - 0.4)}$
Выполним вычитание в скобках:
$1.21 - 0.4 = 0.81$
Теперь выражение имеет вид:
$\sqrt{1.44 \cdot 0.81}$
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{1.44} \cdot \sqrt{0.81} = 1.2 \cdot 0.9 = 1.08$
Ответ: 1,08