Номер 474, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 474, страница 111.

474. Сравните числа:

а) $\sqrt{7,5}$ и $\sqrt{7,6}$;

б) $\sqrt{0,1}$ и $\sqrt{0,01}$;

в) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,3}$;

г) $\sqrt{2,16}$ и $\sqrt{2\frac{1}{6}}$;

д) $\sqrt{\frac{5}{9}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$;

е) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,(3)}$;

ж) $\sqrt{7}$ и $2,6$;

з) $3,2$ и $\sqrt{9,8}$;

и) $\sqrt{1,23}$ и $1,1$.

а) Для сравнения чисел $\sqrt{7,5}$ и $\sqrt{7,6}$ достаточно сравнить их подкоренные выражения. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним подкоренные выражения: $7,5$ и $7,6$. Поскольку $7,5 < 7,6$, то и $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.
Ответ: $\sqrt{7,5} < \sqrt{7,6}$.

б) Сравним подкоренные выражения $0,1$ и $0,01$. Так как $0,1 > 0,01$, то $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.
Ответ: $\sqrt{0,1} > \sqrt{0,01}$.

в) Сравним подкоренные выражения $\frac{1}{3}$ и $0,3$. Для этого представим оба числа в одном виде, например, в виде обыкновенных дробей. $0,3 = \frac{3}{10}$. Теперь сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{10}$. Приведем их к общему знаменателю $30$: $\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$ и $\frac{3}{10} = \frac{9}{30}$. Так как $\frac{10}{30} > \frac{9}{30}$, то $\frac{1}{3} > 0,3$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{0,3}$.

г) Сравним подкоренные выражения $2,16$ и $2\frac{1}{6}$. Переведем смешанное число в десятичную дробь: $2\frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = 2 + 0,1666... = 2,1(6)$. Сравнивая десятичные дроби $2,16$ и $2,1(6)$, видим, что $2,16 < 2,1666...$. Значит, $2,16 < 2\frac{1}{6}$, и поэтому $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{2,16} < \sqrt{2\frac{1}{6}}$.

д) Сравним подкоренные выражения $\frac{5}{9}$ и $\frac{6}{11}$. Приведем дроби к общему знаменателю $99$: $\frac{5}{9} = \frac{55}{99}$ и $\frac{6}{11} = \frac{54}{99}$. Так как $\frac{55}{99} > \frac{54}{99}$, то $\frac{5}{9} > \frac{6}{11}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{5}{9}} > \sqrt{\frac{6}{11}}$.

е) Сравним подкоренные выражения $\frac{1}{3}$ и $0,(3)$. Бесконечная периодическая десятичная дробь $0,(3)$ (читается "ноль целых и три в периоде") по определению равна обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$. Так как подкоренные выражения равны, $0,(3) = \frac{1}{3}$, то и сами числа равны.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{0,(3)}$.

ж) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и $2,6$, возведем второе число в квадрат и представим его в виде корня. $2,6^2 = 6,76$, значит $2,6 = \sqrt{6,76}$. Теперь сравним подкоренные выражения: $7$ и $6,76$. Так как $7 > 6,76$, то $\sqrt{7} > \sqrt{6,76}$, а значит $\sqrt{7} > 2,6$.
Ответ: $\sqrt{7} > 2,6$.

з) Чтобы сравнить $3,2$ и $\sqrt{9,8}$, возведем $3,2$ в квадрат. $3,2^2 = 10,24$, значит $3,2 = \sqrt{10,24}$. Сравним подкоренные выражения: $10,24$ и $9,8$. Так как $10,24 > 9,8$, то $\sqrt{10,24} > \sqrt{9,8}$, а значит $3,2 > \sqrt{9,8}$.
Ответ: $3,2 > \sqrt{9,8}$.

и) Чтобы сравнить $\sqrt{1,23}$ и $1,1$, возведем $1,1$ в квадрат. $1,1^2 = 1,21$, значит $1,1 = \sqrt{1,21}$. Сравним подкоренные выражения: $1,23$ и $1,21$. Так как $1,23 > 1,21$, то $\sqrt{1,23} > \sqrt{1,21}$, а значит $\sqrt{1,23} > 1,1$.
Ответ: $\sqrt{1,23} > 1,1$.