Номер 467, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 467, страница 110.

467. Может ли:

а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом;

б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?

а) Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример.

Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $-\sqrt{2}$ также иррационально, поскольку произведение иррационального числа $\sqrt{2}$ на рациональное число $-1$ всегда иррационально.

Найдем сумму этих чисел:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Результатом сложения является число 0. Ноль — это рациональное число, так как его можно представить в виде дроби, например $\frac{0}{1}$.

Другой пример: возьмем иррациональные числа $c = 5 - \pi$ и $d = \pi$. Их сумма $c + d = (5 - \pi) + \pi = 5$. Число 5 также является рациональным.

Таким образом, существуют пары иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

Ответ: да, может.

б) Да, произведение рационального и иррационального чисел может быть рациональным числом. Однако это возможно только в одном特定м случае.

Рассмотрим произведение рационального числа $q$ и иррационального числа $i$.

Случай 1: Рациональное число не равно нулю ($q \neq 0$).
Допустим, что произведение $p = q \cdot i$ является рациональным числом. Так как $q$ — рациональное число и $q \neq 0$, то существует обратное ему число $\frac{1}{q}$, которое также является рациональным. Мы можем выразить $i$ из этого произведения: $i = \frac{p}{q}$. Поскольку $p$ и $q$ — рациональные числа, их частное $\frac{p}{q}$ также будет рациональным числом. Это означает, что $i$ — рациональное число, что противоречит нашему начальному условию (что $i$ — иррациональное). Следовательно, наше допущение неверно. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда является иррациональным.

Случай 2: Рациональное число равно нулю ($q = 0$).
Число 0 является рациональным. Возьмем любое иррациональное число, например, $i = \sqrt{3}$. Найдем их произведение:

$q \cdot i = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$

Результат равен 0, что является рациональным числом. Таким образом, произведение рационального числа 0 на любое иррациональное число равно 0, т.е. рациональному числу.

Ответ: да, может, если рациональное число равно нулю.