Номер 461, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 461, страница 109.

461. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключённых между числами 10 и 10,1.

Задача состоит в том, чтобы найти два рациональных и два иррациональных числа, которые находятся в интервале $(10; 10,1)$. Это означает, что для любого искомого числа $x$ должно выполняться строгое неравенство $10 < x < 10,1$.

Два рациональных числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичное представление таких чисел является либо конечным, либо бесконечным периодическим. Для нахождения таких чисел в заданном интервале достаточно выбрать любую конечную десятичную дробь, которая больше 10 и меньше 10,1.

Например, рассмотрим следующие числа:

1. Число $10,02$. Это число удовлетворяет неравенству $10 < 10,02 < 10,1$. Оно является рациональным, так как его можно записать в виде дроби: $10,02 = \frac{1002}{100} = \frac{501}{50}$.

2. Число $10,05$. Это число также находится в указанном интервале: $10 < 10,05 < 10,1$. Оно рационально, так как $10,05 = \frac{1005}{100} = \frac{201}{20}$.

Ответ: $10,02$ и $10,05$.

Два иррациональных числа

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Чтобы найти иррациональные числа в интервале $(10; 10,1)$, можно воспользоваться методом возведения границ в квадрат. Если число $x$ лежит в интервале $10 < x < 10,1$, то его квадрат $x^2$ будет лежать в интервале $10^2 < x^2 < (10,1)^2$, то есть $100 < x^2 < 102,01$.

Теперь выберем в интервале $(100; 102,01)$ любое число, которое не является точным квадратом целого числа. Квадратный корень из такого числа будет иррациональным и будет находиться в искомом интервале $(10; 10,1)$.

1. Выберем число $101$. Так как $100 < 101 < 102,01$, то и $ \sqrt{100} < \sqrt{101} < \sqrt{102,01}$, что равносильно $10 < \sqrt{101} < 10,1$. Поскольку $101$ не является точным квадратом, число $\sqrt{101}$ иррационально.

2. Выберем число $102$. Так как $100 < 102 < 102,01$, то $10 < \sqrt{102} < 10,1$. Поскольку $102$ не является точным квадратом, число $\sqrt{102}$ также иррационально.

Ответ: $\sqrt{101}$ и $\sqrt{102}$.