Номер 466, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 466, страница 110.

466. Решите уравнение $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=2$.

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$

Для решения данного уравнения будем последовательно избавляться от иррациональности (корней) путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
1. Для самого внутреннего корня: $x \ge 0$.
2. Для среднего корня: $2 + \sqrt{x}$. Так как по первому условию $\sqrt{x} \ge 0$, то $2 + \sqrt{x} \ge 2$, что всегда положительно.
3. Для внешнего корня: $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}$. Это выражение также всегда положительно, так как $\sqrt{2 + \sqrt{x}} > 0$.
Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$

Теперь изолируем оставшийся радикал, перенеся 1 в правую часть уравнения:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$
$2 + \sqrt{x} = 9$

Изолируем последний радикал:
$\sqrt{x} = 9 - 2$
$\sqrt{x} = 7$

И в последний раз возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=49$ области допустимых значений.
Поскольку $49 \ge 0$, корень входит в ОДЗ.

Выполним проверку, подставив найденное значение $x=49$ в исходное уравнение:
$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{49}}} = \sqrt{1 + \sqrt{2 + 7}} = \sqrt{1 + \sqrt{9}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
$2 = 2$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 49.