Номер 462, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 462, страница 109.

462. Известно, что число $a$ рациональное, а число $b$ иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:

а) $a + b$;

б) $a - b$?

Для решения данной задачи мы будем использовать метод доказательства от противного, опираясь на свойства рациональных чисел.
Ключевое свойство, которое нам понадобится: множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Это означает, что если взять два любых рациональных числа, их сумма и их разность также будут рациональными числами.

а) Рассмотрим число $a + b$.
По условию, $a$ — рациональное число, а $b$ — иррациональное.
Предположим, что их сумма $a + b$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму буквой $c$, то есть $c = a + b$.
Согласно нашему предположению, $c$ — рациональное число. Из условия мы знаем, что $a$ — также рациональное число. Выразим $b$ из нашего равенства: $b = c - a$.
В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($c$ и $a$). Как мы знаем, результат такой операции всегда является рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом.
Это утверждение вступает в противоречие с исходным условием задачи, где сказано, что $b$ — иррациональное число.
Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения. Значит, сумма $a + b$ не может быть рациональным числом, она является иррациональной.
Ответ: иррациональным.

б) Рассмотрим число $a - b$.
По условию, $a$ — рациональное число, а $b$ — иррациональное.
Действуем аналогично, методом от противного. Предположим, что разность $a - b$ является рациональным числом. Обозначим эту разность буквой $d$, то есть $d = a - b$.
Согласно нашему предположению, $d$ — рациональное число. Из условия мы знаем, что $a$ — также рациональное число. Выразим $b$ из нашего равенства: $b = a - d$.
В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($a$ и $d$). Результат этой операции должен быть рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом.
Мы снова получили противоречие с условием задачи, так как $b$ является иррациональным числом.
Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, разность $a - b$ не может быть рациональным числом, она является иррациональной.
Ответ: иррациональным.