Номер 465, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 465, страница 110.

465. Решите уравнение:

а) $5\sqrt{x} = 3$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3x}} = 1$;

в) $\frac{1}{4\sqrt{x}} = 2$;

г) $\sqrt{x-5} = 4$;

д) $1+\sqrt{2x} = 10$;

е) $3\sqrt{x}-5 = 4$.

а) Исходное уравнение: $5\sqrt{x} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как выражение под знаком корня не может быть отрицательным.
Разделим обе части уравнения на 5, чтобы выделить радикал:
$\sqrt{x} = \frac{3}{5}$.
Так как правая часть уравнения ($\frac{3}{5}$) является неотрицательным числом, мы можем возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{3}{5})^2$
$x = \frac{9}{25}$.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ: $\frac{9}{25} \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{9}{25}$.

б) Исходное уравнение: $\frac{1}{\sqrt{3x}} = 1$.
ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе дроби. Следовательно, $3x > 0$, что означает $x > 0$.
Из уравнения следует, что знаменатель равен 1:
$\sqrt{3x} = 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x})^2 = 1^2$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $\frac{1}{3} > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{1}{4\sqrt{x}} = 2$.
ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть строго положительным, так как корень находится в знаменателе. Таким образом, $x > 0$.
Умножим обе части на знаменатель $4\sqrt{x}$ (который не равен нулю в ОДЗ):
$1 = 2 \cdot 4\sqrt{x}$
$1 = 8\sqrt{x}$.
Выразим радикал:
$\sqrt{x} = \frac{1}{8}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{8})^2$
$x = \frac{1}{64}$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $\frac{1}{64} > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x-5} = 4$.
ОДЗ: выражение под знаком корня не может быть отрицательным. $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.
Правая часть уравнения положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-5})^2 = 4^2$
$x-5 = 16$.
Перенесем -5 в правую часть:
$x = 16 + 5$
$x = 21$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $21 \ge 5$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 21$.

д) Исходное уравнение: $1 + \sqrt{2x} = 10$.
ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Сначала изолируем радикал. Перенесем 1 в правую часть:
$\sqrt{2x} = 10 - 1$
$\sqrt{2x} = 9$.
Правая часть положительна, возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x})^2 = 9^2$
$2x = 81$.
Найдем $x$:
$x = \frac{81}{2} = 40.5$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $40.5 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 40.5$.

е) Исходное уравнение: $3\sqrt{x} - 5 = 4$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Изолируем слагаемое с радикалом. Перенесем -5 в правую часть:
$3\sqrt{x} = 4 + 5$
$3\sqrt{x} = 9$.
Разделим обе части на 3:
$\sqrt{x} = \frac{9}{3}$
$\sqrt{x} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $9 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 9$.