Номер 468, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 468, страница 110.

468. Приведите пример уравнения вида $x^2 = a$, которое:

а) имеет два рациональных корня;

б) имеет два иррациональных корня;

в) не имеет корней.

а) имеет два рациональных корня;
Уравнение вида $x^2 = a$ имеет два действительных корня, если $a > 0$. Этими корнями являются $x = \pm\sqrt{a}$. Чтобы корни были рациональными, число $a$ должно быть полным квадратом рационального числа. Например, если мы выберем $a = 9$, то $a$ является квадратом рационального числа 3. Уравнение примет вид $x^2 = 9$. Его корни: $x_1 = \sqrt{9} = 3$ и $x_2 = -\sqrt{9} = -3$. Оба корня являются рациональными числами.
Ответ: $x^2 = 9$.

б) имеет два иррациональных корня;
Для того чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два иррациональных корня, коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$), но не должен быть квадратом рационального числа. Возьмем, к примеру, $a = 2$. Уравнение примет вид $x^2 = 2$. Его корни: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Оба корня являются иррациональными числами, так как 2 не является полным квадратом.
Ответ: $x^2 = 2$.

в) не имеет корней.
Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, если в уравнении $x^2 = a$ коэффициент $a$ будет отрицательным числом ($a < 0$), то равенство не сможет выполняться ни при каком действительном значении $x$. Таким образом, уравнение не будет иметь действительных корней. Например, выберем $a = -1$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет корней в множестве действительных чисел.
Ответ: $x^2 = -1$.