Номер 471, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 471, страница 111.

471. При каких значениях переменной $x$ имеет смысл выражение:

а) $\frac{4}{\sqrt{x}}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$;

в) $\frac{5}{\sqrt{x-1}}$?

а) Чтобы выражение $\frac{4}{\sqrt{x}}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt{x} \ne 0$, что равносильно $x \ne 0$. Объединив эти два условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем, что переменная $x$ должна быть строго больше нуля.

Ответ: $x > 0$.

б) Чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, знаменатель не должен равняться нулю: $\sqrt{x}+2 \ne 0$. Условие $\sqrt{x}+2 \ne 0$ эквивалентно $\sqrt{x} \ne -2$. Поскольку по определению арифметический квадратный корень всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), он никогда не может быть равен -2. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль при допустимых значениях $x$. Таким образом, единственным ограничением является неотрицательность подкоренного выражения.

Ответ: $x \ge 0$.

в) Чтобы выражение $\frac{5}{\sqrt{x}-1}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x}-1 \ne 0$. Решим уравнение $\sqrt{x}-1 = 0$. Перенеся 1 в правую часть, получим $\sqrt{x} = 1$. Возведя обе части в квадрат, найдем $x = 1$. Следовательно, значение $x=1$ является недопустимым. Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ne 1$), получаем, что выражение имеет смысл для всех неотрицательных значений $x$, кроме единицы.

Ответ: $x \ge 0$ и $x \ne 1$.