Номер 477, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 477, страница 111.

477. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$;

б) $\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}}$;

в) $\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}}$;

г) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}}$.

а) Чтобы найти значение корня, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для числителя подкоренного выражения.
$\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{(165 - 124)(165 + 124)}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}}$
Сократим дробь, заметив, что $164 = 4 \cdot 41$:
$\sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}}$
Теперь извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5$
Ответ: 8,5

б) В данном выражении применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к знаменателю.
$\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} = \sqrt{\frac{98}{(176 - 112)(176 + 112)}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}}$
Упростим подкоренное выражение, разложив числа на множители: $98 = 2 \cdot 49$ и $288 = 2 \cdot 144$.
$\sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144}} = \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}}$
Извлечем корень. Используем свойство $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$:
$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96}$
Ответ: $\frac{7}{96}$

в) Здесь мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ как для числителя, так и для знаменателя.
Числитель: $149^2 - 76^2 = (149 - 76)(149 + 76) = 73 \cdot 225$.
Знаменатель: $457^2 - 384^2 = (457 - 384)(457 + 384) = 73 \cdot 841$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} = \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}}$
Сокращаем дробь на общий множитель 73:
$\sqrt{\frac{225}{841}}$
Извлекаем квадратный корень:
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29}$
Ответ: $\frac{15}{29}$

г) Аналогично предыдущему пункту, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к числителю и знаменателю.
Числитель: $145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242$.
Знаменатель: $193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225$.
Подставляем в выражение:
$\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}}$
Упростим дробь, разложив $242 = 2 \cdot 121$ и $162 = 2 \cdot 81$:
$\sqrt{\frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}}$
Извлекаем корень из произведения:
$\frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135}$
Ответ: $\frac{77}{135}$