Номер 475, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 475, страница 111.

475. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях $b$ уравнение:

а) $\sqrt{x} = x + b$;

б) $\sqrt{x} = -x + b$.

а)

Для решения уравнения $ \sqrt{x} = x + b $ графическим методом рассмотрим две функции: $ y = \sqrt{x} $ и $ y = x + b $. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — это верхняя ветвь параболы, ось которой совпадает с осью $Ox$. Область определения функции — $ x \ge 0 $, область значений — $ y \ge 0 $.

График функции $ y = x + b $ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $ k=1 $. Параметр $ b $ определяет сдвиг прямой по оси $ Oy $ (является ординатой точки пересечения с осью $Oy$).

Проанализируем взаимное расположение этих графиков в зависимости от значения параметра $b$.

1. Найдем значение $b$, при котором прямая $ y = x + b $ касается графика $ y = \sqrt{x} $. В точке касания угловой коэффициент касательной к кривой $ y = \sqrt{x} $ должен быть равен угловому коэффициенту прямой, то есть 1. Производная функции $ y = \sqrt{x} $ равна $ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Приравняем производную к 1: $ \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 $. Отсюда $ \sqrt{x} = \frac{1}{2} $, что дает $ x = \frac{1}{4} $. Найдем координату $y$ точки касания: $ y = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $. Таким образом, точка касания — $ (\frac{1}{4}; \frac{1}{2}) $. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой $ y = x + b $, чтобы найти соответствующее значение $b$: $ \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + b $, откуда $ b = \frac{1}{4} $. При $ b = \frac{1}{4} $ прямая касается графика, значит, уравнение имеет один корень.

2. Если $ b > \frac{1}{4} $, прямая $ y = x + b $ расположена выше касательной и не имеет общих точек с графиком $ y = \sqrt{x} $. Следовательно, уравнение не имеет корней.

3. Если $ b < \frac{1}{4} $, прямая $ y = x + b $ пересекает график $ y = \sqrt{x} $. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через начало координат $ (0;0) $, которое является начальной точкой графика $ y=\sqrt{x} $. Это происходит при $ b=0 $. Уравнение принимает вид $ \sqrt{x} = x $. Его корни $ x=0 $ и $ x=1 $. То есть при $b=0$ уравнение имеет два корня. При $ 0 \le b < \frac{1}{4} $ прямая пересекает кривую в двух точках.

4. Если $ b < 0 $, то прямая $ y = x + b $ пересекает ось $Oy$ в отрицательной ее части. Поскольку график $ y = \sqrt{x} $ начинается в точке $ (0;0) $ и уходит вправо и вверх, а прямая $ y=x+b $ также возрастает, но имеет отрицательный y-перехват, они пересекутся ровно в одной точке в первой четверти. Таким образом, при $b<0$ уравнение имеет один корень.

Итог исследования:

• Если $ b > \frac{1}{4} $, корней нет.
• Если $ b = \frac{1}{4} $ или $ b < 0 $, уравнение имеет один корень.
• Если $ 0 \le b < \frac{1}{4} $, уравнение имеет два корня.

Ответ: если $b > \frac{1}{4}$, корней нет; если $b = \frac{1}{4}$ или $b < 0$, то один корень; если $0 \le b < \frac{1}{4}$, то два корня.

б)

Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x} = -x + b $. Аналогично пункту а), исследуем пересечение графиков функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = -x + b $.

График $ y = \sqrt{x} $ расположен в первой координатной четверти, начинается в точке $(0;0)$ и является возрастающей функцией.

График $ y = -x + b $ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $ k=-1 $. Это убывающие прямые. Параметр $ b $ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от $b$.

1. Если $ b < 0 $. Прямая $ y = -x + b $ пересекает ось $Oy$ в точке $ (0, b) $, где $ b < 0 $. Для $ x \ge 0 $ (область определения $ \sqrt{x} $) значения функции $ y = -x + b $ будут отрицательными ($ -x \le 0 $, поэтому $ -x+b < b < 0 $). В то же время значения функции $ y = \sqrt{x} $ всегда неотрицательны ($ \ge 0 $). Так как одна функция принимает только отрицательные значения, а другая — только неотрицательные, их графики не могут пересечься. Следовательно, при $ b < 0 $ уравнение не имеет корней.

2. Если $ b \ge 0 $. Прямая $ y = -x + b $ пересекает ось $Oy$ в точке $ (0,b) $ на неотрицательной полуоси. График $ y=\sqrt{x} $ начинается в $ (0,0) $ и возрастает, а график $ y=-x+b $ начинается в $ (0,b) $ и убывает. Так как одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает на области определения $x \ge 0$, их графики могут пересечься не более одного раза. Поскольку при $x=0$ значение $y=\sqrt{x}$ равно 0, а значение $y=-x+b$ равно $b \ge 0$, а при достаточно большом $x$ значение $\sqrt{x}$ будет больше, чем $-x+b$ (которое станет отрицательным), то графики обязательно пересекутся. Таким образом, при $ b \ge 0 $ существует ровно одна точка пересечения.

Ответ: если $b < 0$, корней нет; если $b \ge 0$, то один корень.