Номер 482, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 482, страница 112.

482. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{4^3}$;

б) $\sqrt{9^5}$;

в) $\sqrt{16^5}$;

г) $\sqrt{25^3}$;

д) $\sqrt{8 \cdot 162}$;

е) $\sqrt{96 \cdot 486}$;

ж) $\sqrt{750 \cdot 270}$;

з) $\sqrt{194 \cdot 776}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{4^3}$ можно использовать свойство корня из степени: $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$ или $\sqrt{a^{2k} \cdot b} = a^k \sqrt{b}$.

Представим степень $4^3$ как $4^2 \cdot 4$:

$\sqrt{4^3} = \sqrt{4^2 \cdot 4} = \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{4}$

Так как $\sqrt{4^2} = 4$ и $\sqrt{4} = 2$, получаем:

$4 \cdot 2 = 8$

Другой способ — сначала возвести в степень, а затем извлечь корень:

$4^3 = 64$

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{9^5}$ представим степень $9^5$ как $9^4 \cdot 9$:

$\sqrt{9^5} = \sqrt{9^4 \cdot 9} = \sqrt{9^4} \cdot \sqrt{9}$

Используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$, получаем $\sqrt{9^4} = 9^{4/2} = 9^2 = 81$.

Также $\sqrt{9} = 3$.

Тогда:

$81 \cdot 3 = 243$

Другой способ:

$\sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Ответ: 243

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{16^5}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:

$\sqrt{16^5} = (\sqrt{16})^5$

Так как $\sqrt{16} = 4$, получаем:

$4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024$

Ответ: 1024

г)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{25^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$:

$\sqrt{25^3} = (\sqrt{25})^3$

Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

д)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{8 \cdot 162}$ разложим подкоренные множители так, чтобы выделить полные квадраты. Используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Разложим число 162 на множители: $162 = 2 \cdot 81$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{8 \cdot 162} = \sqrt{8 \cdot (2 \cdot 81)} = \sqrt{(8 \cdot 2) \cdot 81} = \sqrt{16 \cdot 81}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{16} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 9 = 36$

Ответ: 36

е)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{96 \cdot 486}$ разложим числа 96 и 486 на простые множители.

$96 = 2^5 \cdot 3$

$486 = 2 \cdot 3^5$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{96 \cdot 486} = \sqrt{(2^5 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^5)} = \sqrt{2^5 \cdot 2 \cdot 3^5 \cdot 3} = \sqrt{2^6 \cdot 3^6}$

Используя свойства степеней и корней, получаем:

$\sqrt{2^6 \cdot 3^6} = \sqrt{(2 \cdot 3)^6} = \sqrt{6^6} = 6^{6/2} = 6^3 = 216$

Ответ: 216

ж)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{750 \cdot 270}$ разложим подкоренные множители, выделив удобные для извлечения корня части.

$750 = 75 \cdot 10 = (25 \cdot 3) \cdot 10$

$270 = 27 \cdot 10$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{750 \cdot 270} = \sqrt{(25 \cdot 3 \cdot 10) \cdot (27 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot (3 \cdot 27) \cdot (10 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 81 \cdot 100}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{25} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 9 \cdot 10 = 450$

Ответ: 450

з)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{194 \cdot 776}$ попробуем разложить множители на сомножители. Заметим, что $776 = 4 \cdot 194$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{194 \cdot 776} = \sqrt{194 \cdot (4 \cdot 194)} = \sqrt{194^2 \cdot 4}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{194^2} \cdot \sqrt{4} = 194 \cdot 2 = 388$

Ответ: 388