Номер 488, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 488, страница 113.

488. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ является натуральным числом?

1) Выберите произвольное значение $n$ и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении $n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$, чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.

Выберем произвольное натуральное число $n$, например, $n=1$. Подставим это значение в выражение:

$\sqrt{1(1+1)(1+2)(1+3)+1} = \sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1} = \sqrt{24+1} = \sqrt{25} = 5$

Число 5 является натуральным.

Проверим для другого значения, например, $n=3$:

$\sqrt{3(3+1)(3+2)(3+3)+1} = \sqrt{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 + 1} = \sqrt{360+1} = \sqrt{361} = 19$

Число 19 также является натуральным. На основе этих примеров можно предположить, что утверждение верно.

Ответ: при $n=1$ значение выражения равно 5, что является натуральным числом; при $n=3$ значение равно 19, что является натуральным числом.

2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.

Рассмотрим произведение $n(n+1)(n+2)(n+3)$. Чтобы после раскрытия скобок получить выражение, которое легко сворачивается в полный квадрат, нужно сгруппировать множители так, чтобы в полученных произведениях были одинаковые части.

Сгруппируем первый множитель с последним, а два средних — между собой:

$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)]$

Раскроем скобки в каждой группе:

$n(n+3) = n^2+3n$

$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$

Видно, что оба выражения содержат одинаковую часть $n^2+3n$. Это позволит сделать замену переменной, что упростит дальнейшие преобразования и поможет выделить полный квадрат.

Ответ: множители удобно сгруппировать следующим образом: $(n \cdot (n+3)) \cdot ((n+1) \cdot (n+2))$.

3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

Преобразуем подкоренное выражение, используя предложенную группировку:

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = [n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$

Чтобы упростить выражение, введем замену. Пусть $t = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид:

$t(t+2)+1 = t^2+2t+1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$t^2+2t+1 = (t+1)^2$

Теперь вернемся к исходной переменной $n$, подставив $t = n^2+3n$:

$(n^2+3n+1)^2$

Таким образом, все исходное выражение под корнем равно квадрату выражения $n^2+3n+1$. Теперь извлечем корень:

$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} = \sqrt{(n^2+3n+1)^2} = |n^2+3n+1|$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $n^2 \ge 1$ и $3n \ge 3$. Тогда $n^2+3n+1 \ge 1+3+1 = 5$. Значение выражения $n^2+3n+1$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить:

$|n^2+3n+1| = n^2+3n+1$

Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ — натуральное число, $3n$ — натуральное число, и 1 — натуральное число. Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом. Следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения $n^2+3n+1$ является натуральным числом.

Ответ: да, верно. При любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ является натуральным числом, так как оно равно $n^2+3n+1$.