Номер 495, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 495, страница 114.

495. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:

а) $x - 4\sqrt{x-1} + 3$

б) $y + 2\sqrt{y+2} + 3$

а) Требуется представить выражение $x - 4\sqrt{x-1} + 3$ в виде квадрата суммы или разности. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В исходном выражении член $-4\sqrt{x-1}$ можно рассматривать как удвоенное произведение $-2ab$. Представим его как $-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1}$. Отсюда можно предположить, что $a = \sqrt{x-1}$ и $b = 2$.

Проверим, можем ли мы получить из исходного выражения сумму квадратов $a^2$ и $b^2$.

$a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$

$b^2 = 2^2 = 4$

Преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Представим число $3$ как $4-1$ и сгруппируем члены:

$x - 4\sqrt{x-1} + 3 = x - 1 - 4\sqrt{x-1} + 4 = (x-1) - 4\sqrt{x-1} + 4$.

Теперь мы видим все части формулы квадрата разности:

$(x-1) - 4\sqrt{x-1} + 4 = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1} + 2^2 = (\sqrt{x-1} - 2)^2$.

Ответ: $(\sqrt{x-1} - 2)^2$.

б) Требуется представить выражение $y + 2\sqrt{y+2} + 3$ в виде квадрата суммы или разности. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В исходном выражении член $2\sqrt{y+2}$ можно рассматривать как удвоенное произведение $2ab$. Представим его как $2 \cdot \sqrt{y+2} \cdot 1$. Отсюда можно предположить, что $a = \sqrt{y+2}$ и $b = 1$.

Найдем квадраты этих членов:

$a^2 = (\sqrt{y+2})^2 = y+2$

$b^2 = 1^2 = 1$

Преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Представим число $3$ как $1+2$ и сгруппируем члены:

$y + 2\sqrt{y+2} + 3 = y + 2 + 2\sqrt{y+2} + 1 = (y+2) + 2\sqrt{y+2} + 1$.

Теперь мы видим все части формулы квадрата суммы:

$(y+2) + 2\sqrt{y+2} + 1 = (\sqrt{y+2})^2 + 2 \cdot \sqrt{y+2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{y+2} + 1)^2$.

Ответ: $(\sqrt{y+2} + 1)^2$.