Номер 502, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 502, страница 115.

502. Сократите дробь:

а) $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}};$

б) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}};$

В) $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x};$

Г) $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}.$

а)

Дана дробь $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$.

Преобразуем числитель, представив его как разность кубов. Заметим, что $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2} = (x^{1/2})^3 = (\sqrt{x})^3$. Аналогично, $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$.

Таким образом, числитель можно записать как $(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$:

$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = x + \sqrt{xy} + y$.

Сокращение возможно при условии, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} \ne 0$, то есть $x \ne y$. Также по определению корня $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Ответ: $x + \sqrt{xy} + y$.

б)

Дана дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$.

Преобразуем знаменатель, представив его как сумму кубов. Как и в предыдущем примере, $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.

Знаменатель можно записать как $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$.

Применим формулу суммы кубов $c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)$, где $c = \sqrt{a}$ и $d = \sqrt{b}$:

$(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби и сократим:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

Сокращение возможно при условии, что $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne 0$, что выполняется для всех допустимых $a \ge 0, b \ge 0$, кроме случая $a=b=0$.

Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

в)

Дана дробь $\frac{2\sqrt{2} - x\sqrt{x}}{2 + \sqrt{2x} + x}$.

Преобразуем числитель, представив его как разность кубов. Заметим, что $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$ и $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$.

Числитель равен $(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{x}$:

$(\sqrt{2})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{x})((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(2 + \sqrt{2x} + x)}{2 + \sqrt{2x} + x}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2 + \sqrt{2x} + x)$. Этот множитель (неполный квадрат суммы) всегда положителен при $x \ge 0$.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{x})\cancel{(2 + \sqrt{2x} + x)}}{\cancel{2 + \sqrt{2x} + x}} = \sqrt{2} - \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{x}$.

г)

Дана дробь $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}$.

Преобразуем знаменатель, представив его как сумму кубов. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$.

Знаменатель равен $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3$.

Применим формулу суммы кубов $c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)$, где $c = \sqrt{a}$ и $d = \sqrt{3}$:

$(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{3})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - \sqrt{3a} + 3)$. Этот множитель (неполный квадрат разности) всегда положителен при $a \ge 0$.

$\frac{\cancel{a - \sqrt{3a} + 3}}{(\sqrt{a} + \sqrt{3})\cancel{(a - \sqrt{3a} + 3)}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.