Номер 508, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 508, страница 116.

508. При каком значении x дробь $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} $ принимает наибольшее значение?

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ данная дробь принимает наибольшее значение, рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 2) \cup (2, \infty)$.

Теперь упростим выражение дроби. Заметим, что знаменатель $x-2$ можно разложить на множители как разность квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $2$ как $(\sqrt{2})^2$: $x-2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})$.

Подставим это разложение в исходную дробь: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$.

Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$, то выражение $\sqrt{x}-\sqrt{2}$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Итак, нам нужно найти, при каком $x$ из ОДЗ функция $y(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ принимает наибольшее значение.

Значение дроби с положительным постоянным числителем (в нашем случае 1) будет наибольшим, когда ее знаменатель будет наименьшим. Рассмотрим знаменатель $g(x) = \sqrt{x}+\sqrt{2}$.

Функция $h(x) = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Так как $\sqrt{2}$ является постоянной величиной, то и функция $g(x) = \sqrt{x}+\sqrt{2}$ также является монотонно возрастающей на своей области определения.

Возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в начальной точке своей области определения. Для нашей задачи наименьшее значение $x$ из области допустимых значений $x \in [0, 2) \cup (2, \infty)$ — это $x=0$.

Таким образом, знаменатель $\sqrt{x}+\sqrt{2}$ принимает наименьшее значение при $x=0$. Следовательно, и вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ в этой точке достигает своего наибольшего значения.

Ответ: $x=0$.