Номер 510, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 510, страница 116.

510. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} + \frac{1}{x-x\sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y-1}{2};$

б) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(b-a)^2}{2}.$

а)
Исходное выражение: $ (\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x - x\sqrt{y}}) \cdot \frac{y-1}{2} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. В знаменателях каждой дроби вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ \frac{1}{x(1 + \sqrt{y})} + \frac{1}{x(1 - \sqrt{y})} $

Общий знаменатель будет $ x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y}) $. Используя формулу разности квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$, упростим его: $ x(1^2 - (\sqrt{y})^2) = x(1-y) $.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их: $ \frac{1 \cdot (1 - \sqrt{y}) + 1 \cdot (1 + \sqrt{y})}{x(1-y)} = \frac{1 - \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y}}{x(1-y)} = \frac{2}{x(1-y)} $

Далее умножим полученное выражение на вторую дробь: $ \frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{y-1}{2} $

Заметим, что $ y-1 = -(1-y) $. Подставим это в выражение и сократим общие множители $2$ и $(1-y)$: $ \frac{2}{x(1-y)} \cdot \frac{-(1-y)}{2} = \frac{\cancel{2}}{x\cancel{(1-y)}} \cdot \frac{-\cancel{(1-y)}}{\cancel{2}} = -\frac{1}{x} $
Ответ: $ -\frac{1}{x} $

б)
Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}) \cdot \frac{(b-a)^2}{2} $

Начнем с упрощения выражения в скобках. Найдем общий знаменатель для дробей: $ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $. По формуле разности квадратов он равен $ (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание: $ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его: $ \frac{a + \sqrt{ab} - (a - \sqrt{ab})}{a-b} = \frac{a + \sqrt{ab} - a + \sqrt{ab}}{a-b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a-b} $

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения: $ \frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(b-a)^2}{2} $

Поскольку $ (b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2 $, мы можем переписать выражение следующим образом и сократить общие множители $2$ и $(a-b)$: $ \frac{2\sqrt{ab}}{a-b} \cdot \frac{(a-b)^2}{2} = \frac{\cancel{2}\sqrt{ab}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}} = \sqrt{ab}(a-b) $
Ответ: $ (a-b)\sqrt{ab} $