Номер 511, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 511, страница 116.

511. Докажите, что значение выражения

$\sqrt{b + 49 - 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}}$

при $0 \leq b \leq 49$ не зависит от $b$.

Для доказательства того, что значение данного выражения не зависит от $b$, мы его упростим.

Рассмотрим выражения под знаками корня.

Первое подкоренное выражение: $b + 49 - 14\sqrt{b}$. Его можно представить в виде полного квадрата. Заметим, что $b = (\sqrt{b})^2$, $49 = 7^2$, и $14\sqrt{b} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b}$. Таким образом, мы можем применить формулу квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.
$b - 14\sqrt{b} + 49 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 7 + 7^2 = (\sqrt{b} - 7)^2$.

Второе подкоренное выражение: $b + 49 + 14\sqrt{b}$. Аналогично, это выражение является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.
$b + 14\sqrt{b} + 49 = (\sqrt{b})^2 + 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 7 + 7^2 = (\sqrt{b} + 7)^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$\sqrt{(\sqrt{b} - 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$|\sqrt{b} - 7| + |\sqrt{b} + 7|$

Далее воспользуемся условием, данным в задаче: $0 \le b \le 49$.
Извлечем квадратный корень из каждой части этого двойного неравенства:
$\sqrt{0} \le \sqrt{b} \le \sqrt{49}$
$0 \le \sqrt{b} \le 7$

Теперь раскроем модули, учитывая это условие.
1. Для первого модуля $|\sqrt{b} - 7|$: поскольку $\sqrt{b} \le 7$, разность $\sqrt{b} - 7$ является неположительной (то есть $\le 0$). Следовательно, при раскрытии модуля знак выражения меняется на противоположный:
$|\sqrt{b} - 7| = -(\sqrt{b} - 7) = 7 - \sqrt{b}$.
2. Для второго модуля $|\sqrt{b} + 7|$: поскольку $\sqrt{b} \ge 0$, сумма $\sqrt{b} + 7$ всегда будет положительной. Следовательно, модуль раскрывается без изменения знака:
$|\sqrt{b} + 7| = \sqrt{b} + 7$.

Подставим полученные выражения обратно:
$(7 - \sqrt{b}) + (\sqrt{b} + 7)$

Выполним сложение:
$7 - \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14$.

В результате упрощения мы получили число 14, которое не зависит от значения переменной $b$. Это доказывает утверждение задачи.

Ответ: Значение выражения равно 14 при всех $b$ из указанного промежутка, следовательно, оно не зависит от $b$.