Номер 515, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Неполные квадратные уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 515, страница 120.

515. Найдите корни уравнения:

a) $4x^2 - 9 = 0$;

б) $-x^2 + 3 = 0$;

в) $-0,1x^2 + 10 = 0$;

г) $y^2 - \frac{1}{9} = 0$;

д) $6v^2 + 24 = 0$;

е) $3m^2 - 1 = 0$.

а) $4x^2 - 9 = 0$
Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (-9) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4x^2 = 9$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:
$x^2 = \frac{9}{4}$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. У квадратного корня есть два значения: положительное и отрицательное.
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$
$x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$
$x_2 = -\frac{3}{2} = -1,5$
Ответ: $-1,5; 1,5$.

б) $-x^2 + 3 = 0$
Перенесем член $-x^2$ в правую часть уравнения, чтобы он стал положительным:
$3 = x^2$
Запишем в более привычном виде:
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{3}$
Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

в) $-0,1x^2 + 10 = 0$
Перенесем свободный член (10) в правую часть уравнения:
$-0,1x^2 = -10$
Разделим обе части уравнения на -0,1:
$x^2 = \frac{-10}{-0,1}$
$x^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{100}$
$x = \pm 10$
Ответ: $-10; 10$.

г) $y^2 - \frac{1}{9} = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$y^2 = \frac{1}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$y = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
$y = \pm\frac{1}{3}$
Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.

д) $6v^2 + 24 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$6v^2 = -24$
Разделим обе части на 6:
$v^2 = \frac{-24}{6}$
$v^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

е) $3m^2 - 1 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$3m^2 = 1$
Разделим обе части на 3:
$m^2 = \frac{1}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$m = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$
Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе:
$m = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.