Номер 522, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Неполные квадратные уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 522, страница 121.

522. Найдите корни уравнения:

a) $(x+3)(x-4) = -12;$

б) $\frac{2}{3}t + (2t+1)(\frac{1}{3}t-1) = 0;$

в) $3x(2x+3) = 2x(x+4,5) + 2;$

г) $(x-1)(x+1) = 2(x^2-3).$

а) $(x+3)(x-4) = -12$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в левой части:

$x \cdot x - 4 \cdot x + 3 \cdot x - 3 \cdot 4 = -12$

$x^2 - 4x + 3x - 12 = -12$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x - 12 = -12$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 + 12 = 0$

$x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 1$.

Таким образом, у уравнения два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$

б) $1\frac{2}{3}t + (2t+1)(\frac{1}{3}t - 1) = 0$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь раскроем скобки, умножив многочлены:

$\frac{5}{3}t + (2t \cdot \frac{1}{3}t - 2t \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{3}t - 1 \cdot 1) = 0$

$\frac{5}{3}t + \frac{2}{3}t^2 - 2t + \frac{1}{3}t - 1 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5}{3}t - 2t + \frac{1}{3}t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{5+1}{3}t - 2t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (\frac{6}{3}t - 2t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 + (2t - 2t) - 1 = 0$

$\frac{2}{3}t^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $-1$ в правую часть:

$\frac{2}{3}t^2 = 1$

Выразим $t^2$:

$t^2 = 1 \cdot \frac{3}{2}$

$t^2 = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $t$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$t = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$

Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $t = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $t_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

в) $3x(2x+3) = 2x(x+4,5) + 2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 2x \cdot x + 2x \cdot 4,5 + 2$

$6x^2 + 9x = 2x^2 + 9x + 2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$6x^2 + 9x - 2x^2 - 9x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 2x^2) + (9x - 9x) - 2 = 0$

$4x^2 - 2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $-2$ в правую часть:

$4x^2 = 2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $(x-1)(x+1) = 2(x^2-3)$

В левой части уравнения находится формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. В правой части раскроем скобки:

$x^2 - 1^2 = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 3$

$x^2 - 1 = 2x^2 - 6$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (вправо, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным):

$0 = 2x^2 - x^2 - 6 + 1$

$0 = x^2 - 5$

Или $x^2 - 5 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $-5$ в правую часть:

$x^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{5}$

Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$