Номер 523, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Неполные квадратные уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 523, страница 121.

523. Решите уравнение:

a) $x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1)$;

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 6$;

в) $6a^2 - (a + 2)^2 = -4(a - 4)$;

г) $(5y + 2)(y - 3) = -13(2 + y).$

а) $x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1)$
Для начала раскроем скобки в правой части уравнения, перемножив многочлены:
$(x + 5)(2x - 1) = x \cdot 2x + x \cdot (-1) + 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-1) = 2x^2 - x + 10x - 5 = 2x^2 + 9x - 5$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$x^2 - 5 = 2x^2 + 9x - 5$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, вправо), чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$0 = 2x^2 - x^2 + 9x - 5 + 5$
$0 = x^2 + 9x$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$
или
$x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$
Ответ: $0; -9$.

б) $2x - (x + 1)^2 = 3x^2 - 6$
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$2x - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 3x^2 - 6$
$2x - (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 6$
Теперь раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$2x - x^2 - 2x - 1 = 3x^2 - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 - 1 = 3x^2 - 6$
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
$0 = 3x^2 + x^2 - 6 + 1$
$0 = 4x^2 - 5$
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$4x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}}$
$x_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}; -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) $6a^2 - (a + 2)^2 = -4(a - 4)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, а в правой — распределительный закон:
$6a^2 - (a^2 + 4a + 4) = -4a + 16$
Раскроем скобки в левой части:
$6a^2 - a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$
Приведем подобные слагаемые слева:
$5a^2 - 4a - 4 = -4a + 16$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$5a^2 - 4a - 4 + 4a - 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5a^2 - 20 = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$5a^2 = 20$
$a^2 = \frac{20}{5}$
$a^2 = 4$
$a = \pm\sqrt{4}$
$a_1 = 2$, $a_2 = -2$
Ответ: $2; -2$.

г) $(5y + 2)(y - 3) = -13(2 + y)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5y \cdot y + 5y \cdot (-3) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-3) = -13 \cdot 2 - 13 \cdot y$
$5y^2 - 15y + 2y - 6 = -26 - 13y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5y^2 - 13y - 6 = -26 - 13y$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$5y^2 - 13y - 6 + 26 + 13y = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5y^2 + (-13y + 13y) + (-6 + 26) = 0$
$5y^2 + 20 = 0$
Попробуем решить это неполное квадратное уравнение:
$5y^2 = -20$
$y^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, а $-4 < 0$, то данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет корней.