Номер 527, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Неполные квадратные уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 527, страница 121.

527. Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?

Пусть $t$ — искомое время в часах. За это время первая группа туристов, которая движется на север со скоростью $v_1 = 4$ км/ч, пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 4t$ км. Вторая группа, которая движется на запад со скоростью $v_2 = 5$ км/ч, пройдет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = 5t$ км.

Поскольку направления движения групп (север и запад) перпендикулярны друг другу, их траектории образуют катеты прямоугольного треугольника, а их начальная точка — вершину с прямым углом. Расстояние между группами в момент времени $t$ является гипотенузой этого треугольника. Обозначим это расстояние $S$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $S^2 = S_1^2 + S_2^2$. По условию задачи, расстояние между туристами должно стать равным $S = 16$ км. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $t$:
$16^2 = (4t)^2 + (5t)^2$
$256 = 16t^2 + 25t^2$
$256 = 41t^2$

Выразим из этого уравнения $t^2$:
$t^2 = \frac{256}{41}$
Так как время $t$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$t = \sqrt{\frac{256}{41}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{41}} = \frac{16}{\sqrt{41}}$
Ответ: через $\frac{16}{\sqrt{41}}$ часа.