Номер 534, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 534, страница 127.

534. Решите уравнение:

а) $3x^2 - 7x + 4 = 0;$

б) $5x^2 - 8x + 3 = 0;$

в) $3x^2 - 13x + 14 = 0;$

г) $2y^2 - 9y + 10 = 0;$

д) $5y^2 - 6y + 1 = 0;$

е) $4x^2 + x - 33 = 0;$

ж) $y^2 - 10y - 24 = 0;$

з) $p^2 + p - 90 = 0.$

а) $3x^2 - 7x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты: $a=3$, $b=-7$, $c=4$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

б) $5x^2 - 8x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=-8$, $c=3$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}; 1$.

в) $3x^2 - 13x + 14 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-13$, $c=14$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

г) $2y^2 - 9y + 10 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-9$, $c=10$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$
$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Ответ: $2; 2,5$.

д) $5y^2 - 6y + 1 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-6$, $c=1$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}; 1$.

е) $4x^2 + x - 33 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=1$, $c=-33$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что $\sqrt{529} = 23$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2,75$
$x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$
Ответ: $-3; 2,75$.

ж) $y^2 - 10y - 24 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-10$, $c=-24$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что $\sqrt{196} = 14$. Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$y_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2; 12$.

з) $p^2 + p - 90 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=-90$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Заметим, что $\sqrt{361} = 19$. Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$
$p_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $-10; 9$.