Номер 535, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 535, страница 127.

535. Решите уравнение:

а) $14x^2 - 5x - 1 = 0;$

б) $-y^2 + 3y + 5 = 0;$

в) $2x^2 + x + 67 = 0;$

г) $1 - 18p + 81p^2 = 0;$

д) $-11y + y^2 - 152 = 0;$

е) $18 + 3x^2 - x = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $14x^2 - 5x - 1 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 14$, $b = -5$, $c = -1$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{7}$.

б) Дано уравнение $-y^2 + 3y + 5 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $y^2$ стал положительным: $y^2 - 3y - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$ с коэффициентами: $a = 1$, $b = -3$, $c = -5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$.
$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$.
Ответ: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$, $y_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$.

в) Дано уравнение $2x^2 + x + 67 = 0$.
Коэффициенты: $a = 2$, $b = 1$, $c = 67$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

г) Дано уравнение $1 - 18p + 81p^2 = 0$.
Перепишем его в стандартном виде: $81p^2 - 18p + 1 = 0$.
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности: $(9p - 1)^2 = (9p)^2 - 2 \cdot 9p \cdot 1 + 1^2 = 81p^2 - 18p + 1$.
Таким образом, уравнение принимает вид $(9p - 1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $9p - 1 = 0$.
$9p = 1$.
$p = \frac{1}{9}$.
Альтернативное решение через дискриминант:
$a = 81$, $b = -18$, $c = 1$.
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-18)}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $p = \frac{1}{9}$.

д) Дано уравнение $-11y + y^2 - 152 = 0$.
Перепишем его в стандартном виде: $y^2 - 11y - 152 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -11$, $c = -152$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-11) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19$.
$y_2 = \frac{-(-11) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
Ответ: $y_1 = 19$, $y_2 = -8$.

е) Дано уравнение $18 + 3x^2 - x = 0$.
Перепишем его в стандартном виде: $3x^2 - x + 18 = 0$.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = 18$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 216 = -215$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.