Номер 536, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 536, страница 127.

536. Найдите корни уравнения:

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0;$

б) $2p^2 + 7p - 30 = 0;$

в) $9y^2 - 30y + 25 = 0;$

г) $35x^2 + 2x - 1 = 0;$

д) $2y^2 - y - 5 = 0;$

е) $16x^2 - 8x + 1 = 0.$

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=5$, $b=-11$, $c=2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-11) + 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-11) - 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $2; \frac{1}{5}$.

б) $2p^2 + 7p - 30 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ap^2 + bp + c = 0$, где $a=2$, $b=7$, $c=-30$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$p_2 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$.
Ответ: $2,5; -6$.

в) $9y^2 - 30y + 25 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=9$, $b=-30$, $c=25$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Найдем корень по формуле $y = \frac{-b}{2a}$:
$y = \frac{-(-30)}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(3y - 5)^2 = 0$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

г) $35x^2 + 2x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=35$, $b=2$, $c=-1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 35} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$.
$x_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{7}; -\frac{1}{5}$.

д) $2y^2 - y - 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$.

е) $16x^2 - 8x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=16$, $b=-8$, $c=1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x - 1)^2 = 0$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.