Номер 543, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 543, страница 128.

543. Решите уравнение:

а) $25 = 26x - x^2;$

б) $3x^2 = 10 - 29x;$

в) $y^2 = 4y + 96;$

г) $3p^2 + 3 = 10p;$

д) $x^2 - 20x = 20x + 100;$

е) $25x^2 - 13x = 10x^2 - 7.$

а) $25 = 26x - x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 26x + 25 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-26$, $c=25$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-26) + 24}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{-(-26) - 24}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 25$.

б) $3x^2 = 10 - 29x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$3x^2 + 29x - 10 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=29$, $c=-10$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$.
Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-29 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-29 - 31}{2 \cdot 3} = \frac{-60}{6} = -10$
Ответ: $-10; \frac{1}{3}$.

в) $y^2 = 4y + 96$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$y^2 - 4y - 96 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-96$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$.
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-4) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$y_2 = \frac{-(-4) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: $-8; 12$.

г) $3p^2 + 3 = 10p$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$3p^2 - 10p + 3 = 0$
Коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$p_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

д) $x^2 - 20x = 20x + 100$
Соберем все члены в левой части уравнения:
$x^2 - 20x - 20x - 100 = 0$
$x^2 - 40x - 100 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-40$, $c=-100$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1600 + 400 = 2000$.
Поскольку корень из дискриминанта не является целым числом, упростим его: $\sqrt{D} = \sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-40) + 20\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 20\sqrt{5}}{2} = 20 + 10\sqrt{5}$
$x_2 = \frac{-(-40) - 20\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 20\sqrt{5}}{2} = 20 - 10\sqrt{5}$
Ответ: $20 - 10\sqrt{5}; 20 + 10\sqrt{5}$.

е) $25x^2 - 13x = 10x^2 - 7$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 10x^2 - 13x + 7 = 0$
$15x^2 - 13x + 7 = 0$
Коэффициенты: $a=15$, $b=-13$, $c=7$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.