Номер 538, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 538, страница 127.

538. При каких значениях x принимают равные значения:

а) двучлены $x^2 - 6x$ и $5x - 18$;

б) трёхчлены $3x^2 - 4x + 3$ и $x^2 + x + 1$?

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых двучлены $x^2 - 6x$ и $5x - 18$ принимают равные значения, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$x^2 - 6x = 5x - 18$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 6x - 5x + 18 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -11$, $c = 18$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, двучлены равны при $x=2$ и $x=9$.

Ответ: 2; 9.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлены $3x^2 - 4x + 3$ и $x^2 + x + 1$ принимают равные значения, приравняем их:

$3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$3x^2 - x^2 - 4x - x + 3 - 1 = 0$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, трёхчлены равны при $x=2$ и $x=0,5$.

Ответ: 0,5; 2.