Номер 544, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 544, страница 128.

544. Найдите корни уравнения:

а) $(2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5};$

б) $(3x - 1)(x + 3) = x(1 + 6x);$

в) $(x - 1)(x + 1) = 2(5x - 10\frac{1}{2});$

г) $-x(x + 7) = (x - 2)(x + 2).$

а) $(2x-3)(5x+1) = 2x+\frac{2}{5}$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(2x \cdot 5x) + (2x \cdot 1) - (3 \cdot 5x) - (3 \cdot 1) = 2x + \frac{2}{5}$

$10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$10x^2 - 13x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$10x^2 - 13x - 2x - 3 - \frac{2}{5} = 0$

$10x^2 - 15x - (3 + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - (\frac{15}{5} + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - \frac{17}{5} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot (10x^2 - 15x - \frac{17}{5}) = 5 \cdot 0$

$50x^2 - 75x - 17 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=50, b=-75, c=-17$.

$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$

$x_1 = \frac{-(-75) + 95}{2 \cdot 50} = \frac{75 + 95}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$

$x_2 = \frac{-(-75) - 95}{2 \cdot 50} = \frac{75 - 95}{100} = \frac{-20}{100} = -0.2$

Ответ: $1.7; -0.2$.

б) $(3x-1)(x+3) = x(1+6x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 9x - x - 3 = x + 6x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 8x - 3 = x + 6x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, и приравняем к нулю:

$0 = (6x^2 - 3x^2) + (x - 8x) + 3$

$3x^2 - 7x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=3, b=-7, c=3$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$

Ответ: $\frac{7 + \sqrt{13}}{6}; \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

в) $(x-1)(x+1) = 2(5x-10\frac{1}{2})$

Упростим обе части уравнения. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части преобразуем смешанное число в неправильную дробь и раскроем скобки:

$10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$

Подставим в уравнение:

$x^2 - 1^2 = 2(5x - \frac{21}{2})$

$x^2 - 1 = 2 \cdot 5x - 2 \cdot \frac{21}{2}$

$x^2 - 1 = 10x - 21$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 10x - 1 + 21 = 0$

$x^2 - 10x + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=1, b=-10, c=20$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \frac{2(5 \pm \sqrt{5})}{2} = 5 \pm \sqrt{5}$

Ответ: $5 + \sqrt{5}; 5 - \sqrt{5}$.

г) $-x(x+7) = (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов:

$-x \cdot x - x \cdot 7 = x^2 - 2^2$

$-x^2 - 7x = x^2 - 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$0 = x^2 - 4 + x^2 + 7x$

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=2, b=7, c=-4$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $0.5; -4$.