Номер 551, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 551, страница 129.

551. Решите уравнение:

а) $0,7x^2 = 1,3x + 2;$

б) $7 = 0,4y + \frac{1}{5}y^2;$

в) $x^2 - 1,6x - 0,36 = 0;$

г) $z^2 - 2z + 2,91 = 0;$

д) $0,2y^2 - 10y + 125 = 0;$

е) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0.$

а) $0,7x^2 = 1,3x + 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$0,7x^2 - 1,3x - 2 = 0$

Чтобы упростить вычисления, избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,7x^2 - 1,3x - 2) = 10 \cdot 0$

$7x^2 - 13x - 20 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=7, b=-13, c=-20$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-20) = 169 + 560 = 729$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{729}}{2 \cdot 7} = \frac{13 + 27}{14} = \frac{40}{14} = \frac{20}{7}$

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{729}}{2 \cdot 7} = \frac{13 - 27}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{20}{7}, x_2 = -1$.

б) $7 = 0,4y + \frac{1}{5}y^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде $ay^2 + by + c = 0$:

$\frac{1}{5}y^2 + 0,4y - 7 = 0$

Преобразуем коэффициенты к одному виду. Заметим, что $\frac{1}{5} = 0,2$.

$0,2y^2 + 0,4y - 7 = 0$

Умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2y^2 + 4y - 70 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$y^2 + 2y - 35 = 0$

Решим уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1, b=2, c=-35$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $y_1 = 5, y_2 = -7$.

в) $x^2 - 1,6x - 0,36 = 0$

Уравнение уже имеет стандартный вид. Для удобства вычислений умножим обе части на 100:

$100x^2 - 160x - 36 = 0$

Все коэффициенты делятся на 4, разделим уравнение на 4:

$25x^2 - 40x - 9 = 0$

Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=25, b=-40, c=-9$.

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-9) = 1600 + 900 = 2500$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 25} = \frac{40 + 50}{50} = \frac{90}{50} = \frac{9}{5} = 1,8$

$x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 25} = \frac{40 - 50}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5} = -0,2$

Ответ: $x_1 = 1,8, x_2 = -0,2$.

г) $z^2 - 2z + 2,91 = 0$

Уравнение представлено в стандартном виде. Найдем его дискриминант. Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=2,91$.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,91 = 4 - 11,64 = -7,64$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

д) $0,2y^2 - 10y + 125 = 0$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$5 \cdot (0,2y^2 - 10y + 125) = 5 \cdot 0$

$y^2 - 50y + 625 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(y)^2 - 2 \cdot y \cdot 25 + (25)^2 = (y - 25)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y - 25 = 0$.

$y = 25$

Также можно было найти дискриминант для уравнения $y^2 - 50y + 625 = 0$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 2500 - 2500 = 0$

При $D=0$ уравнение имеет один корень: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-50)}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$.

Ответ: $y = 25$.

е) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9) = 3 \cdot 0$

$x^2 + 6x - 27 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=6, c=-27$.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -9$.