Номер 557, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 557, страница 130.

557. Упростите выражение:

a) $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20};$

б) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}.$

а) $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}$

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\frac{\sqrt{7}}{7}$. Также упростим $\sqrt{20}$.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7}$, $\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7}$, $\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$.

Выполним умножение первого члена выражения:

$(\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{2 \cdot 7} - 2\sqrt{5 \cdot 7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \sqrt{3 \cdot 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{2 \cdot 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} - 2\sqrt{5 \cdot 7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$(\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{5}\sqrt{7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7})^2}{7} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{7})^2}{7} - \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{7})^2}{7}$

Так как $(\sqrt{7})^2 = 7$, получаем:

$\frac{\sqrt{3} \cdot 7}{7} + \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{7} - \frac{2\sqrt{5} \cdot 7}{7} = \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}$

Теперь подставим полученный результат и упрощенный $\sqrt{20}$ в исходное выражение:

$(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-2\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$\sqrt{3} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

б) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}$

Рассмотрим произведение первых двух сомножителей $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$. Сгруппируем первые два слагаемых в первой скобке:

$((\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

Теперь раскроем скобки, умножив $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ и $-\sqrt{15}$ на $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$:

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{15}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

Первое произведение является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

Раскроем второе произведение:

$-\sqrt{15}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = -(\sqrt{15}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{15}\cdot\sqrt{3}) = -(\sqrt{75} - \sqrt{45})$

Таким образом, произведение первых двух сомножителей равно:

$2 - (\sqrt{75} - \sqrt{45}) = 2 - \sqrt{75} + \sqrt{45}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(2 - \sqrt{75} + \sqrt{45}) + \sqrt{75}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-\sqrt{75}$ и $\sqrt{75}$ взаимно уничтожаются:

$2 + \sqrt{45}$

Упростим оставшийся корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Окончательный результат:

$2 + 3\sqrt{5}$

Ответ: $2 + 3\sqrt{5}$