Номер 563, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 563, страница 132.

563. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 $ \text{см}^2 $.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.

Согласно условию задачи, их сумма составляет 23 см. Запишем это в виде уравнения:
$a + b = 23$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

По условию, площадь равна 60 см². Подставим это значение в формулу площади:
$60 = \frac{1}{2}ab$
Отсюда найдем произведение катетов:
$ab = 60 \cdot 2 = 120$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a + b = 23 \\ ab = 120 \end{cases} $

Такая система решается с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Числа a и b являются корнями приведенного квадратного уравнения:
$t^2 - (a+b)t + ab = 0$

Подставив значения суммы и произведения из нашей системы, получим:
$t^2 - 23t + 120 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$

Теперь найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{23 - \sqrt{49}}{2} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$t_2 = \frac{23 + \sqrt{49}}{2} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Корни уравнения 8 и 15 являются длинами искомых катетов.

Выполним проверку:
Сумма катетов: $8 + 15 = 23$ см.
Площадь треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты треугольника равны 8 см и 15 см.