Номер 566, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 566, страница 132.

566. От прямоугольного листа картона длиной $26 \text{ см}$ отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна $80 \text{ см}^2$. Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе $1 : 2$).

Пусть ширина прямоугольного листа картона равна $x$ см. Длина листа по условию равна 26 см. Площадь исходного прямоугольного листа равна $S_{\text{исх}} = 26 \cdot x$ см².

С двух концов листа по его длине отрезали два квадрата. Сторона каждого квадрата равна ширине листа, то есть $x$ см. Площадь одного такого квадрата равна $S_{\text{кв}} = x \cdot x = x^2$ см². Так как отрезали два квадрата, их суммарная площадь составляет $2 \cdot S_{\text{кв}} = 2x^2$ см².

Площадь оставшейся части листа ($S_{\text{ост}}$) равна разности площади исходного листа и суммарной площади двух отрезанных квадратов. По условию, $S_{\text{ост}} = 80$ см². Составим уравнение: $S_{\text{исх}} - 2S_{\text{кв}} = S_{\text{ост}}$ $26x - 2x^2 = 80$

Перенесем все члены уравнения в одну часть и разделим на -2, чтобы получить приведенное квадратное уравнение: $2x^2 - 26x + 80 = 0$ $x^2 - 13x + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что доказывает наличие двух решений у задачи.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $x_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два возможных значения для ширины листа: 5 см и 8 см. Проверим, возможны ли оба варианта. Чтобы отрезать два квадрата со стороной $x$ от листа длиной 26 см, необходимо, чтобы суммарная длина отрезаемых по длине частей была не больше самой длины листа: $2x \le 26$, или $x \le 13$ см. Оба найденных корня ($x_1 = 8$ и $x_2 = 5$) удовлетворяют этому условию. Следовательно, задача имеет два решения.

---

Случай 1. Ширина листа равна 5 см.

Если ширина листа $x = 5$ см, то от листа размером 26 см × 5 см отрезают два квадрата размером 5 см × 5 см. Площадь оставшейся части: $26 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2 = 130 - 2 \cdot 25 = 130 - 50 = 80$ см². Решение верное. Оставшаяся часть представляет собой прямоугольник с размерами $(26 - 5 - 5)$ см × 5 см, то есть 16 см × 5 см.

Чертеж в масштабе 1:2:

На чертеже, выполненном с соблюдением пропорций, заштрихованы отрезанные части. Размеры указаны в см.

Ответ: Ширина листа 5 см.

---

Случай 2. Ширина листа равна 8 см.

Если ширина листа $x = 8$ см, то от листа размером 26 см × 8 см отрезают два квадрата размером 8 см × 8 см. Площадь оставшейся части: $26 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 208 - 2 \cdot 64 = 208 - 128 = 80$ см². Решение верное. Оставшаяся часть представляет собой прямоугольник с размерами $(26 - 8 - 8)$ см × 8 см, то есть 10 см × 8 см.

Чертеж в масштабе 1:2:

На чертеже, выполненном с соблюдением пропорций, заштрихованы отрезанные части. Размеры указаны в см.

Ответ: Ширина листа 8 см.