Номер 560, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 560, страница 131.

560. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна $60 \text{ см}^2$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, длина на 4 см больше ширины, значит, длина равна $(x + 4)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($l$) на ширину ($w$): $S = l \cdot w$. По условию, площадь равна 60 см². Составим и решим уравнение:

$x \cdot (x + 4) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 4x = 60$

$x^2 + 4x - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не является решением задачи. Следовательно, ширина прямоугольника составляет 6 см.

Найдем длину прямоугольника:

$l = x + 4 = 6 + 4 = 10$ см

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. Подставим найденные значения длины и ширины:

$P = 2 \cdot (10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32$ см

Ответ: 32 см.