Номер 567, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 567, страница 132.

567. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Пусть длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна $c$ см.

Согласно условию задачи, один из катетов на 3 см меньше гипотенузы. Его длина составляет $(c - 3)$ см.

Второй катет на 6 см меньше гипотенузы. Его длина равна $(c - 6)$ см.

По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

$ (c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2 $

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2 $

Приведём подобные слагаемые:

$ 2c^2 - 18c + 45 = c^2 $

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0 $

$ c^2 - 18c + 45 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Легко подобрать корни: 15 и 3.

Проверим корни, найденные через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 $

$ c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2} = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15 $

$ c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Теперь необходимо проверить, имеют ли оба корня физический смысл. Длины сторон треугольника должны быть положительными числами.

1. Если гипотенуза $c = 15$ см:
Длина первого катета: $c - 3 = 15 - 3 = 12$ см.
Длина второго катета: $c - 6 = 15 - 6 = 9$ см.
Все стороны имеют положительную длину (15, 12, 9), поэтому этот корень подходит.

2. Если гипотенуза $c = 3$ см:
Длина первого катета: $c - 3 = 3 - 3 = 0$ см.
Длина второго катета: $c - 6 = 3 - 6 = -3$ см.
Длина стороны треугольника не может быть нулевой или отрицательной. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

Таким образом, гипотенуза может быть равна только 15 см.

Ответ: 15 см.