Номер 569, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 569, страница 132.

569. Старинная задача.

Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?

$(\frac{x}{8})^2 + 12 = x$

Для решения этой задачи обозначим общее количество обезьян в стае переменной $x$.
Из условия задачи следует:
1. Число обезьян, которые резвятся в лесу, составляет квадрат от восьмой части их общего числа. Математически это выражается как $(\frac{x}{8})^2$.
2. Остальные 12 обезьян находятся на вершине холма.
Следовательно, общее количество обезьян равно сумме обезьян в лесу и на холме. Составим уравнение на основе этих данных:
$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом. Сначала раскроем скобки:
$x = \frac{x^2}{64} + 12$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 64:
$64 \cdot x = 64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12$
$64x = x^2 + 768$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 64x + 768 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты: $a=1, b=-64, c=768$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два корня. Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-64) + 32}{2 \cdot 1} = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-(-64) - 32}{2 \cdot 1} = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два положительных целых корня. Поскольку количество обезьян не может быть дробным или отрицательным, оба решения потенциально верны. Выполним проверку для каждого из них.

Проверка для $x = 48$:
Количество обезьян в лесу: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$.
Общее количество обезьян: $36$ (в лесу) + $12$ (на холме) = $48$. Это соответствует первому корню.

Проверка для $x = 16$:
Количество обезьян в лесу: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$.
Общее количество обезьян: $4$ (в лесу) + $12$ (на холме) = $16$. Это соответствует второму корню.

Оба значения удовлетворяют условию задачи, следовательно, задача имеет два возможных решения.
Ответ: В стае могло быть 16 или 48 обезьян.