Номер 570, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 570, страница 132.

570. Старинная задача.

Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Если $x$ — общее число обезьян, то:

$x = (\frac{x}{5})^2 - 3 + 1$

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество обезьян.

Согласно условию, количество обезьян, спрятавшихся в гроте, равно "квадрату пятой части обезьян, уменьшенной на 3". Математически это можно записать так:

• Пятая часть обезьян: $\frac{x}{5}$
• Пятая часть, уменьшенная на 3: $\frac{x}{5} - 3$
• Квадрат этого выражения: $(\frac{x}{5} - 3)^2$

Кроме обезьян в гроте, была еще одна обезьяна на дереве. Общее количество обезьян $x$ равно сумме обезьян в гроте и обезьяны на дереве. Составим уравнение:

$x = (\frac{x}{5} - 3)^2 + 1$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x = (\frac{x}{5})^2 - 2 \cdot \frac{x}{5} \cdot 3 + 3^2 + 1$

$x = \frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 9 + 1$

$x = \frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 10$

Для удобства решения умножим все члены уравнения на 25, чтобы избавиться от знаменателей:

$25 \cdot x = 25 \cdot (\frac{x^2}{25}) - 25 \cdot (\frac{6x}{5}) + 25 \cdot 10$

$25x = x^2 - 5 \cdot 6x + 250$

$25x = x^2 - 30x + 250$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в правую часть:

$0 = x^2 - 30x - 25x + 250$

$x^2 - 55x + 250 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250 = 3025 - 1000 = 2025$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-55) + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 45}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-(-55) - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 45}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Уравнение имеет два положительных целочисленных корня: 50 и 5. Проверим, оба ли они подходят по смыслу задачи.

Случай 1: $x = 50$

Пятая часть от 50 равна $10$. Уменьшаем на 3, получаем $10 - 3 = 7$. Квадрат этого числа равен $7^2 = 49$. Это число обезьян в гроте. Всего обезьян получается: $49$ (в гроте) + $1$ (на дереве) = $50$. Этот корень полностью удовлетворяет условию.

Случай 2: $x = 5$

Пятая часть от 5 равна $1$. Уменьшаем на 3, получаем $1 - 3 = -2$. Квадрат этого числа равен $(-2)^2 = 4$. Это число обезьян в гроте. Всего обезьян получается: $4$ (в гроте) + $1$ (на дереве) = $5$. Математически этот корень также подходит.

Однако, фраза "пятой части обезьян, уменьшенной на 3" может подразумевать, что от группы обезьян, составляющей пятую часть, отнимают трех особей. Это действие возможно, только если в исходной группе было не меньше трех обезьян, то есть $\frac{x}{5} \ge 3$, откуда $x \ge 15$. При таком толковании корень $x=5$ не имеет физического смысла.

Следовательно, единственным подходящим по смыслу задачи решением является $x=50$.

Ответ: всего было 50 обезьян.