Страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

561. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 $м^2$.

Пусть меньшая сторона прямоугольного участка равна $x$ метров. Тогда, согласно условию, большая сторона равна $(x + 10)$ метров.

Площадь прямоугольника находится как произведение его сторон. Известно, что площадь участка составляет 1200 м². Составим и решим уравнение: $$x \cdot (x + 10) = 1200$$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$x^2 + 10x - 1200 = 0$$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$$

Найдем корни уравнения. Поскольку длина стороны может быть только положительным числом, нас интересует только положительный корень: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$$ Второй корень $x_2 = \frac{-10 - 70}{2} = -40$ является отрицательным и не подходит по смыслу задачи.

Итак, длина меньшей стороны участка равна 30 м.

Длина большей стороны равна: $$30 + 10 = 40 \text{ м}$$

Длина изгороди равна периметру участка. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. $$P = 2 \cdot (30 + 40) = 2 \cdot 70 = 140 \text{ м}$$

Ответ: 140 м.

563. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 $ \text{см}^2 $.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.

Согласно условию задачи, их сумма составляет 23 см. Запишем это в виде уравнения:
$a + b = 23$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

По условию, площадь равна 60 см². Подставим это значение в формулу площади:
$60 = \frac{1}{2}ab$
Отсюда найдем произведение катетов:
$ab = 60 \cdot 2 = 120$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a + b = 23 \\ ab = 120 \end{cases} $

Такая система решается с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Числа a и b являются корнями приведенного квадратного уравнения:
$t^2 - (a+b)t + ab = 0$

Подставив значения суммы и произведения из нашей системы, получим:
$t^2 - 23t + 120 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$

Теперь найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{23 - \sqrt{49}}{2} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$t_2 = \frac{23 + \sqrt{49}}{2} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Корни уравнения 8 и 15 являются длинами искомых катетов.

Выполним проверку:
Сумма катетов: $8 + 15 = 23$ см.
Площадь треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты треугольника равны 8 см и 15 см.

565. Площадь доски прямоугольной формы равна $4500 \text{ см}^2$. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна $120 \text{ см}$.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение на основе данных условия.

Пусть $x$ (в см) — сторона получившегося квадрата. Поскольку квадрат был отпилен от прямоугольной доски, одна из сторон доски также должна быть равна $x$.

После того как от доски отпилили квадрат со стороной $x$, остался прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника также равна $x$, а другая, согласно условию, равна 120 см. Таким образом, размеры отпиленного прямоугольника — $x$ см и 120 см.

Изначальная доска состояла из этих двух частей — квадрата и прямоугольника, приставленных друг к другу по стороне $x$. Следовательно, стороны исходной доски были равны $x$ см и $(x + 120)$ см.

Площадь исходной прямоугольной доски вычисляется как произведение ее сторон. По условию, эта площадь равна 4500 см². Составим уравнение:

$x \cdot (x + 120) = 4500$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 120x = 4500$

$x^2 + 120x - 4500 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=120$, $c=-4500$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 120^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 14400 + 18000 = 32400$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{32400} = 180$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-120 + 180}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-120 - 180}{2 \cdot 1} = \frac{-300}{2} = -150$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны квадрата, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -150$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, сторона получившегося квадрата равна 30 см.

Проверим результат. Если сторона квадрата равна 30 см, то размеры исходной доски были $30$ см и $(30 + 120) = 150$ см. Ее площадь составляет $30 \cdot 150 = 4500$ см², что соответствует условию задачи.

Ответ: 30 см.

567. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Пусть длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна $c$ см.

Согласно условию задачи, один из катетов на 3 см меньше гипотенузы. Его длина составляет $(c - 3)$ см.

Второй катет на 6 см меньше гипотенузы. Его длина равна $(c - 6)$ см.

По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

$ (c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2 $

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2 $

Приведём подобные слагаемые:

$ 2c^2 - 18c + 45 = c^2 $

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0 $

$ c^2 - 18c + 45 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Легко подобрать корни: 15 и 3.

Проверим корни, найденные через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 $

$ c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2} = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15 $

$ c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Теперь необходимо проверить, имеют ли оба корня физический смысл. Длины сторон треугольника должны быть положительными числами.

1. Если гипотенуза $c = 15$ см:
Длина первого катета: $c - 3 = 15 - 3 = 12$ см.
Длина второго катета: $c - 6 = 15 - 6 = 9$ см.
Все стороны имеют положительную длину (15, 12, 9), поэтому этот корень подходит.

2. Если гипотенуза $c = 3$ см:
Длина первого катета: $c - 3 = 3 - 3 = 0$ см.
Длина второго катета: $c - 6 = 3 - 6 = -3$ см.
Длина стороны треугольника не может быть нулевой или отрицательной. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

Таким образом, гипотенуза может быть равна только 15 см.

Ответ: 15 см.

Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?

$(\frac{x}{8})^2 + 12 = x$

Для решения этой задачи обозначим общее количество обезьян в стае переменной $x$.
Из условия задачи следует:
1. Число обезьян, которые резвятся в лесу, составляет квадрат от восьмой части их общего числа. Математически это выражается как $(\frac{x}{8})^2$.
2. Остальные 12 обезьян находятся на вершине холма.
Следовательно, общее количество обезьян равно сумме обезьян в лесу и на холме. Составим уравнение на основе этих данных:
$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом. Сначала раскроем скобки:
$x = \frac{x^2}{64} + 12$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 64:
$64 \cdot x = 64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12$
$64x = x^2 + 768$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 64x + 768 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты: $a=1, b=-64, c=768$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два корня. Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-64) + 32}{2 \cdot 1} = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-(-64) - 32}{2 \cdot 1} = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два положительных целых корня. Поскольку количество обезьян не может быть дробным или отрицательным, оба решения потенциально верны. Выполним проверку для каждого из них.

Проверка для $x = 48$:
Количество обезьян в лесу: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$.
Общее количество обезьян: $36$ (в лесу) + $12$ (на холме) = $48$. Это соответствует первому корню.

Проверка для $x = 16$:
Количество обезьян в лесу: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$.
Общее количество обезьян: $4$ (в лесу) + $12$ (на холме) = $16$. Это соответствует второму корню.

Оба значения удовлетворяют условию задачи, следовательно, задача имеет два возможных решения.
Ответ: В стае могло быть 16 или 48 обезьян.

571. Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $p=\frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Пусть $n$ — это искомое число сторон выпуклого многоугольника. По условию, число диагоналей $p$ в таком многоугольнике вычисляется по формуле: $p = \frac{n(n-3)}{2}$

Также из условия задачи нам известно, что число диагоналей на 25 больше числа сторон. Это можно записать в виде уравнения: $p = n + 25$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $p$, чтобы найти $n$: $\frac{n(n-3)}{2} = n + 25$

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе его части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $n(n-3) = 2(n + 25)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $n^2 - 3n = 2n + 50$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - 3n - 2n - 50 = 0$ $n^2 - 5n - 50 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-5$, $c=-50$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Число сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом, причем $n \ge 3$. Корень $n_2 = -5$ не удовлетворяет этому физическому смыслу. Следовательно, единственно верным решением является $n=10$.

Многоугольник с 10 сторонами называется десятиугольником. Проверим решение: если $n=10$, то число диагоналей равно $p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Число сторон равно 10. Разница между числом диагоналей и числом сторон составляет $35 - 10 = 25$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: в десятиугольнике.

562. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 $м^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b метров.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 62 м, значит:

$2(a+b) = 62$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна 210 м², значит:

$a \cdot b = 210$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 2(a+b) = 62 \\ a \cdot b = 210 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a+b = 31$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 31 \\ a \cdot b = 210 \end{cases}$

Данная система может быть решена с помощью теоремы Виета. Числа a и b являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 31x + 210 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 - 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 21 м и 10 м.

Проверим решение:

Периметр: $2 \cdot (10 + 21) = 2 \cdot 31 = 62$ м.

Площадь: $10 \cdot 21 = 210$ м².

Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 м и 21 м.

564. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое натуральное число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет равно $n+1$.

Их произведение равно $n \cdot (n+1) = n^2 + n$.

Их сумма равна $n + (n+1) = 2n + 1$.

По условию задачи, произведение этих чисел больше их суммы на 109. Это можно записать в виде уравнения:

$n(n+1) = (n + (n+1)) + 109$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2 + n = 2n + 1 + 109$

$n^2 + n = 2n + 110$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$n^2 + n - 2n - 110 = 0$

$n^2 - n - 110 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-110$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

В условии сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Корень $n_2 = -10$ не является натуральным числом, поэтому он не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, первое число равно $n_1 = 11$.

Второе последовательное число равно $n+1 = 11+1 = 12$.

Выполним проверку:

Произведение чисел: $11 \cdot 12 = 132$.

Сумма чисел: $11 + 12 = 23$.

Разность между произведением и суммой: $132 - 23 = 109$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 11 и 12.

566. От прямоугольного листа картона длиной $26 \text{ см}$ отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна $80 \text{ см}^2$. Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе $1 : 2$).

Пусть ширина прямоугольного листа картона равна $x$ см. Длина листа по условию равна 26 см. Площадь исходного прямоугольного листа равна $S_{\text{исх}} = 26 \cdot x$ см².

С двух концов листа по его длине отрезали два квадрата. Сторона каждого квадрата равна ширине листа, то есть $x$ см. Площадь одного такого квадрата равна $S_{\text{кв}} = x \cdot x = x^2$ см². Так как отрезали два квадрата, их суммарная площадь составляет $2 \cdot S_{\text{кв}} = 2x^2$ см².

Площадь оставшейся части листа ($S_{\text{ост}}$) равна разности площади исходного листа и суммарной площади двух отрезанных квадратов. По условию, $S_{\text{ост}} = 80$ см². Составим уравнение: $S_{\text{исх}} - 2S_{\text{кв}} = S_{\text{ост}}$ $26x - 2x^2 = 80$

Перенесем все члены уравнения в одну часть и разделим на -2, чтобы получить приведенное квадратное уравнение: $2x^2 - 26x + 80 = 0$ $x^2 - 13x + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что доказывает наличие двух решений у задачи.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $x_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два возможных значения для ширины листа: 5 см и 8 см. Проверим, возможны ли оба варианта. Чтобы отрезать два квадрата со стороной $x$ от листа длиной 26 см, необходимо, чтобы суммарная длина отрезаемых по длине частей была не больше самой длины листа: $2x \le 26$, или $x \le 13$ см. Оба найденных корня ($x_1 = 8$ и $x_2 = 5$) удовлетворяют этому условию. Следовательно, задача имеет два решения.

Случай 1. Ширина листа равна 5 см.

Если ширина листа $x = 5$ см, то от листа размером 26 см × 5 см отрезают два квадрата размером 5 см × 5 см. Площадь оставшейся части: $26 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2 = 130 - 2 \cdot 25 = 130 - 50 = 80$ см². Решение верное. Оставшаяся часть представляет собой прямоугольник с размерами $(26 - 5 - 5)$ см × 5 см, то есть 16 см × 5 см.

Чертеж в масштабе 1:2:

На чертеже, выполненном с соблюдением пропорций, заштрихованы отрезанные части. Размеры указаны в см.

Ответ: Ширина листа 5 см.

Случай 2. Ширина листа равна 8 см.

Если ширина листа $x = 8$ см, то от листа размером 26 см × 8 см отрезают два квадрата размером 8 см × 8 см. Площадь оставшейся части: $26 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 208 - 2 \cdot 64 = 208 - 128 = 80$ см². Решение верное. Оставшаяся часть представляет собой прямоугольник с размерами $(26 - 8 - 8)$ см × 8 см, то есть 10 см × 8 см.

Чертеж в масштабе 1:2:

На чертеже, выполненном с соблюдением пропорций, заштрихованы отрезанные части. Размеры указаны в см.

Ответ: Ширина листа 8 см.

568. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нём имеется 884 места?

Пусть $x$ — это количество рядов в кинотеатре.

Согласно условию задачи, число мест в каждом ряду на 8 больше, чем число рядов. Следовательно, количество мест в одном ряду можно выразить как $(x + 8)$.

Общее число мест в кинотеатре вычисляется как произведение числа рядов на число мест в одном ряду. По условию, всего в кинотеатре 884 места. На основе этих данных мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x + 8) = 884$

Для решения раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 8x = 884$

$x^2 + 8x - 884 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для начала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-884) = 64 + 3536 = 3600$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 60}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 60}{2} = \frac{-68}{2} = -34$

Так как $x$ обозначает количество рядов, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -34$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $x_1 = 26$.

Таким образом, в кинотеатре 26 рядов.

Выполним проверку:
Количество рядов: $26$.
Количество мест в одном ряду: $26 + 8 = 34$.
Общее количество мест в кинотеатре: $26 \cdot 34 = 884$.
Результат совпадает с данными в условии задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: 26 рядов.

570. Старинная задача.

Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Если $x$ — общее число обезьян, то:

$x = (\frac{x}{5})^2 - 3 + 1$

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество обезьян.

Согласно условию, количество обезьян, спрятавшихся в гроте, равно "квадрату пятой части обезьян, уменьшенной на 3". Математически это можно записать так:

• Пятая часть обезьян: $\frac{x}{5}$
• Пятая часть, уменьшенная на 3: $\frac{x}{5} - 3$
• Квадрат этого выражения: $(\frac{x}{5} - 3)^2$

Кроме обезьян в гроте, была еще одна обезьяна на дереве. Общее количество обезьян $x$ равно сумме обезьян в гроте и обезьяны на дереве. Составим уравнение:

$x = (\frac{x}{5} - 3)^2 + 1$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x = (\frac{x}{5})^2 - 2 \cdot \frac{x}{5} \cdot 3 + 3^2 + 1$

$x = \frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 9 + 1$

$x = \frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 10$

Для удобства решения умножим все члены уравнения на 25, чтобы избавиться от знаменателей:

$25 \cdot x = 25 \cdot (\frac{x^2}{25}) - 25 \cdot (\frac{6x}{5}) + 25 \cdot 10$

$25x = x^2 - 5 \cdot 6x + 250$

$25x = x^2 - 30x + 250$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в правую часть:

$0 = x^2 - 30x - 25x + 250$

$x^2 - 55x + 250 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250 = 3025 - 1000 = 2025$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-55) + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 45}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-(-55) - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 45}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Уравнение имеет два положительных целочисленных корня: 50 и 5. Проверим, оба ли они подходят по смыслу задачи.

Случай 1: $x = 50$

Пятая часть от 50 равна $10$. Уменьшаем на 3, получаем $10 - 3 = 7$. Квадрат этого числа равен $7^2 = 49$. Это число обезьян в гроте. Всего обезьян получается: $49$ (в гроте) + $1$ (на дереве) = $50$. Этот корень полностью удовлетворяет условию.

Случай 2: $x = 5$

Пятая часть от 5 равна $1$. Уменьшаем на 3, получаем $1 - 3 = -2$. Квадрат этого числа равен $(-2)^2 = 4$. Это число обезьян в гроте. Всего обезьян получается: $4$ (в гроте) + $1$ (на дереве) = $5$. Математически этот корень также подходит.

Однако, фраза "пятой части обезьян, уменьшенной на 3" может подразумевать, что от группы обезьян, составляющей пятую часть, отнимают трех особей. Это действие возможно, только если в исходной группе было не меньше трех обезьян, то есть $\frac{x}{5} \ge 3$, откуда $x \ge 15$. При таком толковании корень $x=5$ не имеет физического смысла.

Следовательно, единственным подходящим по смыслу задачи решением является $x=50$.

Ответ: всего было 50 обезьян.