Номер 562, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 562, страница 132.

562. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 $м^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b метров.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 62 м, значит:

$2(a+b) = 62$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна 210 м², значит:

$a \cdot b = 210$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 2(a+b) = 62 \\ a \cdot b = 210 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a+b = 31$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 31 \\ a \cdot b = 210 \end{cases}$

Данная система может быть решена с помощью теоремы Виета. Числа a и b являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 31x + 210 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 - 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 21 м и 10 м.

Проверим решение:

Периметр: $2 \cdot (10 + 21) = 2 \cdot 31 = 62$ м.

Площадь: $10 \cdot 21 = 210$ м².

Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 м и 21 м.