Номер 558, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 558, страница 130.

558. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) $y = 7x - 1$ и $y = 2x;$

б) $y = 3x - 11$ и $y = 4;$

в) $y = 5x + 8$ и $y = 3x + 2;$

г) $y = 4 - x$ и $y = 3x.$

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, не выполняя построения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений. Решив полученное уравнение, мы найдем абсциссу ($x$) точки пересечения. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы вычислим ординату ($y$) этой точки.

а) $y = 7x - 1$ и $y = 2x$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ равны:

$7x - 1 = 2x$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую:

$7x - 2x = 1$

$5x = 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{5}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в одно из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Удобнее использовать второе уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$.

Ответ: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$

б) $y = 3x - 11$ и $y = 4$

В этом случае значение ординаты $y$ уже известно из второго уравнения: $y = 4$.

Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти соответствующее значение $x$:

$4 = 3x - 11$

Решим это уравнение относительно $x$:

$4 + 11 = 3x$

$15 = 3x$

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Координаты точки пересечения: $(5; 4)$.

Ответ: $(5; 4)$

в) $y = 5x + 8$ и $y = 3x + 2$

Приравняем правые части уравнений:

$5x + 8 = 3x + 2$

Соберем члены с $x$ слева, а постоянные члены справа:

$5x - 3x = 2 - 8$

$2x = -6$

Находим $x$:

$x = \frac{-6}{2}$

$x = -3$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -3$ в любое из уравнений, например, во второе $y = 3x + 2$:

$y = 3 \cdot (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$

Координаты точки пересечения: $(-3; -7)$.

Ответ: $(-3; -7)$

г) $y = 4 - x$ и $y = 3x$

Приравняем правые части уравнений:

$4 - x = 3x$

Перенесем член с $x$ из левой части в правую:

$4 = 3x + x$

$4 = 4x$

Находим $x$:

$x = \frac{4}{4}$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 1$ во второе уравнение $y = 3x$:

$y = 3 \cdot 1 = 3$

Координаты точки пересечения: $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$