Номер 553, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 553, страница 129.

553. Существует ли такое значение $a$, при котором верно равенство (если существует, то найдите его):

а) $3a + 0,6 = 9a^2 + 0,36$;

б) $0,4a + 1,2 = 0,16a^2 + 1,44$?

а) $3a + 0,6 = 9a^2 + 0,36$

Чтобы определить, существует ли такое значение $a$, при котором равенство верно, необходимо решить данное уравнение. Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$9a^2 - 3a + 0,36 - 0,6 = 0$

$9a^2 - 3a - 0,24 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=9$, $B=-3$, $C=-0,24$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-0,24) = 9 + 36 \cdot 0,24 = 9 + 8,64 = 17,64$

Так как дискриминант $D = 17,64 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, искомое значение $a$ существует.

Найдем эти значения по формуле корней квадратного уравнения $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17,64}}{2 \cdot 9} = \frac{3 \pm 4,2}{18}$

Вычисляем два корня:

$a_1 = \frac{3 + 4,2}{18} = \frac{7,2}{18} = 0,4$

$a_2 = \frac{3 - 4,2}{18} = \frac{-1,2}{18} = -\frac{12}{180} = -\frac{1}{15}$

Ответ: да, существует. $a = 0,4$ или $a = -1/15$.

б) $0,4a + 1,2 = 0,16a^2 + 1,44$

Аналогично предыдущему пункту, приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$0,16a^2 - 0,4a + 1,44 - 1,2 = 0$

$0,16a^2 - 0,4a + 0,24 = 0$

Для упрощения вычислений умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$16a^2 - 40a + 24 = 0$

Все коэффициенты делятся на 8. Разделим обе части уравнения на 8 для дальнейшего упрощения:

$2a^2 - 5a + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=-5$, $C=3$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант $D = 1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а значит, искомое значение $a$ существует.

Найдем эти значения по формуле $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$

Вычисляем два корня:

$a_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$a_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: да, существует. $a = 1,5$ или $a = 1$.