Номер 550, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 550, страница 129.

550. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором):

a) $x^2 - 8x + 9 = 0;$

б) $2y^2 - 8y + 5 = 0.$

а) $x^2 - 8x + 9 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-8$, $c=9$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$.

Таким образом, точные значения корней:

$x_1 = 4 + \sqrt{7}$

$x_2 = 4 - \sqrt{7}$

3. Найдем приближенные значения корней с точностью до 0,01, используя калькулятор:

$\sqrt{7} \approx 2,64575...$

$x_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 4 + 2,64575... \approx 6,64575... \approx 6,65$.

$x_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2,64575... \approx 1,35424... \approx 1,35$.

Ответ: $x_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 6,65$; $x_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 1,35$.

б) $2y^2 - 8y + 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$ с коэффициентами: $a=2$, $b=-8$, $c=5$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$.

Таким образом, точные значения корней:

$y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$

$y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

3. Найдем приближенные значения корней с точностью до 0,01, используя калькулятор:

$\sqrt{6} \approx 2,44948...$

$y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 + 2,44948...}{2} = \frac{6,44948...}{2} \approx 3,22474... \approx 3,22$.

$y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 - 2,44948...}{2} = \frac{1,55051...}{2} \approx 0,77525... \approx 0,78$.

Ответ: $y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} \approx 3,22$; $y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \approx 0,78$.